人教A版数学高一（上）期末提分专题复习9 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 为得到函数y=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度

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2. 某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内简图时，列表如下：
ωx+φ
0
$\frac{π}{2}$
π
$\frac{3 π}{2}$
2π
x
$\frac{π}{12}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{5 π}{12}$
$\frac{7 π}{12}$
$\frac{3 π}{4}$
y
0
2
0
﹣2
0
则有（　　）

A、A=0，ω= $\frac{π}{12}$ ， φ=0 B、A=2，ω=3，φ= $\frac{π}{12}$ C、A=2，ω=3，φ=﹣ $\frac{π}{4}$ D、A=1，ω=2，φ=﹣ $\frac{π}{12}$

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3. 将 $y = s i n (x - \frac{π}{4})$ 图象上每一个点的横坐标变为原来的 $3$ 倍（纵坐标不变），得到 $y = g (x)$ 的图象，再将 $y = g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = φ (x)$ 的图象﹐则 $y = φ (x)$ 的解析式为（）

A、 $y = s i n (3 x - \frac{π}{12})$ B、 $y = s i n (3 x + \frac{π}{4})$ C、 $y = s i n (\frac{1}{3} x - \frac{π}{12})$ D、 $y = s i n (\frac{1}{3} x - \frac{7 π}{36})$

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4. 要得到余弦曲线 $y = c o s x$ ，只需将正弦曲线 $y = s i n x$ 向左平移（）

A、 $\frac{π}{2}$ 个单位 B、 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、 $\frac{π}{6}$ 个单位

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5. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (- \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、1 D、 $- 1$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{5 π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ B． C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则下列判断错误的是

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为2 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 4 ， 4]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{10}{3} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到 $y = A s i n ω x$ 的图象

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8. 已知函数 $f (x) = a s i n (a x) ， a > 0 ， f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后的图象与原函数图象重合， $f (x)$ 的极大值与极小值的差小于15，则 $a$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、多项选择题

9. 函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图像如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 s i n (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0)$ ， $k \in Z$ C、该函数的增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4} ， 3 k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$ D、把函数 $y = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

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10. $f (x) = a c o s ω x (ω > 0)$ ，若将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位长度后在 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ 上有且只有两个零点，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{16}{7}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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11. 已知函数 $f (x) = a s i n ω x + c o s ω x$ （ $a > 0$ ， $ω > 0$ ）的部分图像如图所示，其中 $| B C | = 2$ ，且的面积为2，则下列函数数值恰好等于a的是（）

A、 $f (\frac{1}{3})$ B、 $f (\frac{5}{6})$ C、 $f (1)$ D、 $f (2)$

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12. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称； B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称； C、将函数 $f (x)$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到余弦函数 $g (x) = c o s x$ 的图象； D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$ ．

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13. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 $s (c m)$ 和时间 $t (s)$ 的函数关系式为 $s = 2 s i n (ω t + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为 $\frac{π}{3}$ ，则 $ω$ 的可能取值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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14. 已知函数f（x）＝sin2x+2cos²x，则（　　）

A、f（x）的最大值为3 B、f（x）的图像关于直线x= $\frac{π}{8}$ 对称 C、f（x）的图像关于点（- $\frac{π}{8}$ ， 1）对称 D、f（x）在[ $- \frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上单调递增

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三、填空题

15. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像，则下列说法正确的编号是.
① $ω = 2$
② $φ = \frac{2 π}{3}$
③ $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心
④函数 $f (x)$ 在区间 $[- π ， - \frac{4 π}{5}]$ 上是减函数

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16. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ ；将函数 $f (x)$ 的图象沿x轴向右平移 $b (0 < b < \frac{π}{2})$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $b =$ .

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17. 若函数 $f (x) = 2 s i n 2 x$ 的图像向右平移 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 4$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ，则 $θ =$ .

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18. 将 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向上平移1个单位之后，可得 $y = s i n 2 x$ 的图像，则 $f (\frac{π}{2}) =$ ．

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19. $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为

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20. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (π) =$ .

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21. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：① $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ；② $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{4})$ ；③ $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ ；④ $f (x) = \sqrt{2} s i n 2 x + 1$ ．其中为“同簇函数”的是（填序号）．

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22. 关于函数 $f (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{3}) (x \in R)$ ，有下列命题：
① $y = f (x + \frac{4}{3} π)$ 为偶函数；

②方程 $f (x) = 2$ 的解集为 ${x | x = \frac{π}{4} + k π ， k \in Z}$ ；

③ $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称；

④ $y = f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 内的增区间为 $[0 ， \frac{5}{12} π]$ 和 $[\frac{11}{12} π ， 2 π]$ ；

⑤ $y = f (x)$ 的振幅为4，频率为 $\frac{1}{π}$ ，初相为 $- \frac{π}{3}$ ．

其中真命题的序号为．

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四、解答题

23.

(1)、指出函数 $y = 2 \sqrt{2} (s i n x c o s x - s i n^{2} x + \frac{1}{2})$ 的最大值，及函数取得最大值时所对应的 $x$ 的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；

(2)、指出正弦函数 $y = s i n x$ 的单调性，并以此为依据证明：余弦函数 $y = c o s x$ 在区间 $[2 k π - π ， 2 k π] (k \in Z)$ 是严格增函数.

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24. 某同学用“五点作图法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
$ω x + φ$
$0$
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
$x$
$\frac{π}{8}$
$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$
$0$
$\sqrt{2}$
$0$
$- \sqrt{2}$
$0$

(1)、请将上表数据补充完整，并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) = m (m \in R)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两根，求 $m$ 的取值范围.

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25. 函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = f (x) + g (x)$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 的值域.

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26. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} c o s^{2} (ω x + \frac{π}{6}) - 4 s i n ω x c o s ω x$ （x∈R且 $ω > 0$ ）的两个相邻的对称中心的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求f(x)在R上的单调递增区间；

(2)、将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)，若 $g (α) = \frac{1}{2} ， α \in [0 ， π] ，$ 求 $c o s (2 α - \frac{π}{6})$ 的值

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27. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．该图象与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ，与 $x$ 轴交于 $B ， C$ 两点， $D$ 为图象的最高点，且 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其单调递增区间．

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (α) = \frac{8}{5} (\frac{π}{2} < α < π)$ ，求 $c o s (α + \frac{π}{6})$ 的值．

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28. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象是由 $y = 2 c o s (ω x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的．

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 图象的对称轴方程，与 $y$ 轴距离最近的对称轴的方程；

(2)、若 $f (x)$ 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 $\frac{2 π}{7} ， ω \in N^{*}$ 且 $ω > 2$ ，求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{9}]$ 上的值域．

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29. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + 3$ .

(1)、用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

(2)、指出 $f (x)$ 的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心.

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30. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x - \cos x) + 2 ， x \in R .$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + ϕ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 | ϕ < \frac{π}{2} |)$ 的形式，并指出 $f (x)$ 的最小正周期、振幅、初相和单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值和最大值.

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ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{7 π}{12}$	$\frac{3 π}{4}$
y	0	2	0	﹣2	0

$ω x + φ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{8}$		$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$	$0$	$\sqrt{2}$	$0$	$- \sqrt{2}$	$0$