人教A版数学高一（上）期末提分专题复习7 诱导公式

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知点 $P (6 ， - 8)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $s i n (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2. 已知 $s i n (α + π) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知以原点为顶点， $x$ 轴的非负半轴为始边的角 $α$ 的终边经过点 $P (1 ， - 2)$ ，则 $c o s (π + α) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $s i n (π - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边，且终边过点 $(4 ， - 3)$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，若 $a = f (l o g_{15} 3 \cdot l o g_{15} 5)$ ， $b = f (c o s \frac{11 π}{4})$ ， $c = f (5^{0.1})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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7. 已知 $c o s (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 已知 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{5 π}{6} + α) c o s (\frac{2 π}{3} - α) =$ （）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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9. 已知 $s i n (\frac{π}{6} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且 $α \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ ，则 $s i n (\frac{π}{3} - α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知 $c o s (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $t a n α t a n β = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多项选择题

11. 在单位圆中，已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，则（）

A、 $t a n α = - \sqrt{2}$ B、 $s i n (- α) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $c o s (π - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $c o s (α - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知 $s i n x = \frac{3}{5} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $s i n (π - x) = \frac{3}{5}$ B、 $c o s (x - π) = \frac{4}{5}$ C、 $s i n (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}$ D、 $c o s (x - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

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13. $c o s (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $s i n (\frac{5 π}{4} + α)$ B、 $s i n (\frac{π}{4} - α)$ C、 $c o s (- \frac{3 π}{4} + α)$ D、 $c o s (\frac{7 π}{4} - α)$

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三、填空题

14. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) - 2 s i n (π - α) c o s (π + α) =$ ．

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15. 已知 $sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (α + \frac{π}{2}) =$ .

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16. $\frac{s i n (π - α) - 2 s i n (\frac{π}{2} + α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + c o s (2 π - α)} = - 1$ ，则 $\frac{1}{\tan^{2} α}$ ．

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17. 若 $c o s (\frac{π}{3} + α) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{2}$ ，则 $c o s (\frac{π}{6} - α) =$ ．

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18. 化简 $\frac{s i n (2 π - x) t a n (π + x) c o t (- π - x)}{c o s (π - x) t a n (3 π - x)} =$ .

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19. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，则 $c o s (π + α) =$ ．

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20. 已知 $t a n (α + π) = - 1$ ，则 $\frac{2 s i n α + c o s α}{c o s α - s i n α} =$ ．

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21. 已知 $s i n α = \frac{2 m - 3}{m + 2}$ ， $c o s α = - \frac{m + 1}{m + 2}$ ，且 $α$ 为第二象限角，则 $\frac{s i n (α + 2024 π) + c o s (α + 2023 π)}{c o s (α + \frac{2021 π}{2})} =$ .

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22. 设 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4} ， t a n (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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23. 若 $t a n α = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} + α) + 2 c o s (π + α)}{s i n (π - α)} =$ ．

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四、解答题

24. 已知角 $α$ 满足 $s i n α - c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、若角 $α$ 是第三象限角， $f (α) = \frac{s i n (α - π) t a n (5 π + α) c o s (π + α)}{t a n (2 π - α) c o s (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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25. 已知 $f (α) = \frac{s i n (α - 3 π) \cdot c o s (2 π - α) \cdot s i n (- α + \frac{3}{2} π)}{c o s (- π - α) \cdot s i n (- π - α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 为第四象限角且 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(3)、若 $α = - \frac{31}{3} π$ ，求 $f (α)$ ．

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26. 已知 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第三象限角.

(1)、求 $c o s α$ 和 $t a n α$ 的值；

(2)、已知 $f (α) = \frac{2 s i n (π + α) + c o s (2 π + α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + s i n (\frac{π}{2} + α)}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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27. 已知 $s i n (\frac{5 π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $c o s (α - \frac{π}{3})$ ；

(2)、若 $- \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ ，求 $c o s (\frac{π}{6} + α)$ ．

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28. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3}{4} π)$ ，且 $s i n α - c o s α = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求 $t a n α + \frac{1}{t a n α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} - α) - 2 c o s (α + π)}{- s i n (- α) + c o s (2 π - α)}$ 的值.

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29. 在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $P (2 ， - 1)$ ，求下列各式的值：

(1)、 $s i n^{2} α + 3 s i n α c o s α$ ；

(2)、 $\frac{s i n (α + \frac{3 π}{2}) c o s (- α) t a n (π - α)}{s i n (π - α) c o s (\frac{π}{2} + α)}$ .

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30. 已知 $f (a) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + α) \cdot c o s (2 π - α) \cdot s i n (- α + \frac{3 π}{2})}{s i n (- π - α) \cdot s i n (\frac{3 π}{2} + α)}$ ．

(1)、化简 $f (a)$ ；

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $c o s (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (a)$ 的值．

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31. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，锐角 $α$ 的顶点是坐标原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 $A (\frac{1}{3} ， y_{0}) .$ 将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 得到角 $β$ ．

(1)、求 $tanβ$ ；

(2)、求 $\frac{sin (α - \frac{π}{2}) cos (π - β)}{sin (π + β) cos (β + \frac{3 π}{2}) + sin (3 π - α) cos (\frac{π}{2} - α)}$ 的值．

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32. 如图，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P ， Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ．

(1)、求 $\frac{3 sinα - 2 cosα}{2 sinα + 3 cosα}$ 的值；

(2)、若 $OP ⊥ OQ$ ，求 $sinβcosβ$ 的值．

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33. 已知 $\frac{s i n (α + 2022 π) - 6 s i n (α - \frac{3 π}{2})}{2 c o s (α - π) - s i n α} = - t a n \frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $s i n α - c o s α$ 的值．

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