人教A版数学高一（上）期末提分专题复习6 函数的应用

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 设 $f (x) = {\begin{cases} 3^{- x} x < 0 \\ f (x - 1) x \geq 0 \end{cases}$ ，若 $f (x) = x + a$ 有且仅有三个解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 用二分法求函数 $f (x) = l g x + x - 3$ 的一个零点，根据参考数据，可得函数 $f (x)$ 的一个零点的近似解（精确到 $0.1$ ）为（）
（参考数据： $l g 2.5 \approx 0.398 ， l g 2.75 \approx 0.439 ， l g 2.625 \approx 0.419 ， l g 2.5625 \approx 0.409$ ）

A、2.4 B、2.5 C、2.6 D、2.56

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3. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 9$ 在 $(1 ， 2)$ 内有一个零点，且求得 $f (x)$ 的部分函数值数据如下表所示：
$x$
1
2
1.5
1.75
1.7656
1.7578
1.7617
$f (x)$
－6
3
－2.625
－0.14063
0.035181
－0.05304
－0.0088
要使 $f (x)$ 零点的近似值精确度为0.01，则对区间 $(1 ， 2)$ 的最少等分次数和近似解分别为（）

A、6次1.75 B、6次1.76 C、7次1.75 D、7次1.76

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4. 下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0 (m \in R)$ 的两个不相等的实根均在区间 $(0 ， + ∞)$ 内，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (x + 1) + m ， x \geq 0 \\ a x - b + 1 ， x < 0 \end{array} (m < - 1)$ ，对于任意 $s \in R$ ，且 $s \neq 0$ ，均存在唯一实数 $t$ ，使得 $f (s) = f (t)$ ，且 $s \neq t$ ，若关于 $x$ 的方程 $| f (x) | = f (\frac{m}{2})$ 有3个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 - e^{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1 - e^{2})$ C、 $(\frac{1}{2} - e^{2} ， 0)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2} - e^{2})$

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7. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 2$ 则函数 $f (x) = a^{x} + x - b$ 的零点所在区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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8. 对于任意实数x，符号 [x]表示不超过x的最大整数(如 $[- 1.5] = - 2, [0] = 0, [2.3] = 2$ ，则 $[\log_{2} \frac{1}{4}] + [\log_{2} \frac{1}{3}] + [\log_{2} 1] + [\log_{2} 3] + [\log_{2} 4]$ 的值为（）

A、0 B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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二、多项选择题

9. 设函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 2$ ， $g (x) = 2 l n x + x - 2$ ，若 $f (a) = g (b) = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a < \frac{1}{2}$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $2 l n b + b = 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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10. 用二分法求函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个零点的近似值（精确度为 $0.1$ ）时，依次计算得到如下数据： $f (1) = - 2$ ， $f (1.5) = 0.625$ ， $f (1.25) \approx - 0.984$ ， $f (1.375) \approx - 0.260$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1.25 ， 1.5)$ 上有零点 B、已经达到精确度，可以取 $1.375$ 作为近似值 C、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.3125)$ D、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.4375)$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} ， 0 \leq x < 1 \\ {(x - 2)}^{2} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (3) = 1$ B、函数 $f (x)$ 是定义域上的增函数 C、函数 $f (x)$ 有 $2$ 个零点 D、方程 $f (x) = x$ 有两个实数解

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l g x | ， x > 0 ， \\ 1 - x^{2} ， x \leq 0 ， \end{array}$ 则方程 $f (2 x^{2} + x) = a (a > 0)$ 的根的个数可能为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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13. 根据已学函数 $y = x + \frac{c}{x} (c \neq 0)$ 的图象与性质来研究函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ 的图象与性质，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a b > 0$ ， $f (x)$ 在 $[\sqrt{\frac{b}{a}} ， + \infty)$ 为增函数 B、若 $a b < 0$ ， $\forall m > 0$ ，方程 $| f (x) | = m$ 一定有4个不同实根 C、设函数 $g (x) = f (x) + \frac{x^{3} + {(2 x + 1)}^{2} + 3}{x^{2} + 1}$ 在区间 $[- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2]$ 上的最大值为M ，最小值为N ，则 $M + N =$ 8 D、若 $a = 2 ， b = - 2$ ，对任意 $x \in [1 ， + ∞)$ ， $f (m x) + m f (x) < 0$ 恒成立，则实数m的取值范围是 $m < - 1$

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14. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ ，则（）

A、若 $α = 3$ ，则函数 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $α = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减 C、若 $α = \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域 $[0 ， + ∞)$ D、若 $α = \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = f (x) - c o s x$ 只有一个零点

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三、填空题

15. 已知 $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ，方程 $| f (x) | = m$ 有4个实数解，则 $m$ 的取值范围是．

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16. 小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程 $x^{3} - 4 x + 1 = 0$ 在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解 $x_{0}$ 所在的区间为.

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17. 若用二分法求方程 $2 x^{3} + 3 x - 3 = 0$ 在初始区间 $(0, 1)$ 内的近似解，第一次取区间的中点为 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ，那么第三次取区间的中点为 $x_{3} =$ .

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18. 已知函数y=a+cosx在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a= ．

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19. 若方程 $x^{2} + (2 - m) x - 1 = 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上仅有一个实根，则 $m$ 的取值范围是

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20. 若方程 $x^{2} + m x + 4 = 0$ 的两个根都在区间 $(1 ， + \infty)$ 内，则实数m的取值范围为．

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21. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数. $t a n h$ 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 $f (x) = \frac{2}{1 + e^{- 2 x}} - 1$ .给出以下结论：
① $t a n h$ 函数是增函数；
② $t a n h$ 函数是奇函数；
③ $t a n h$ 函数的值域为 $(- 1 ， 1)$ ；
④对于任意实数a ，函数 $y = | f (x) | - a x - 1$ 至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + a - 2 ， x < 0 \\ s i n (a x + \frac{π}{5}) ， 0 \leq x \leq 2 π \end{array}$ ，已知 $f (x)$ 有且仅有5个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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23. 已知 $f (x) = x + \frac{16}{x} - 10$ 是定义在区间 $(0 ， + ∞)$ 的函数，则函数 $f (x)$ 的零点是；若方程 $| f (x) | = m (m > 0)$ 有四个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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24. 设函数 $f (x) = \frac{2011^{x + 1} + 2010}{2011^{x} + 1} + \sin x (x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，那么 $M + N =$

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四、解答题

25. 若函数 $f (x)$ 的自变量的取值范围为 $[a ， b]$ 时，函数值的取值范围恰为 $[\frac{2}{b} ， \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的一个“和谐区间” .

(1)、先判断“函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 没有“和谐区间”是否正确，再写出函数 $g (x) = - x + 3 (x > 0)$ 的“和谐区间”；

(2)、若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{1}{l o g_{2} x}$ .
（i）求 $f (x)$ 的“和谐区间”；
（ii）若函数 $g (x)$ 的图象是 $f (x)$ 在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数 $m$ ，使集合 ${(x ， y) | y = g (x)} ∩ {(x ， y) | y = x^{3} - m x ， m > 0}$ 恰含有2个元素，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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26.

(1)、利用定义证明：函数 $f (x) = x^{3} + x - 3$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增．

(2)、求方程 $x^{3} + x - 3 = 0$ 的实数解（精确到0.1）.

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27. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.

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28. 已知集合 $A = {x ∣ a x^{2} + 2 x + 1 = 0 ， a \in R}$ .

(1)、若A中只有一个元素，求 $a$ 的值；

(2)、若A中至少有一个元素，求 $a$ 的取值范围.

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29. 已知“方程mx²+4x+1=0有两个不相等的实根”是真命题.

(1)、求实数m的取值集合M；

(2)、设A={x|a<x<a+2}，若x∈A是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围.

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30. 已知 $m \in R$ ，命题 $p$ ： $m^{2} - m - 6 < 0$ ，命题 $q$ ：函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + 1$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上存在零点.

(1)、若 $p$ 是真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ ， $q$ 中有一个为真命题，另一个为假命题，求 $m$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a x + 1 ， x > 0 \\ x^{2} - a x - 1 ， x < 0 \end{array}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、当 $a = 0$ 时，函数 $g (x) = f (x) - k | x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有3个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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32. 已知幂函数 $f (x) = m^{2} \cdot x^{1 - 3 m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $(1 ， 2)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

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33. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 $25$ 万元 $\sim 1600$ 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过 $75$ 万元，同时奖金不超过投资收益的 $20 %$ ．（即：设奖励方案函数模型为 $y = f (x)$ 时，则公司对函数模型的基本要求是:当 $x \in [25, 1600]$ 时，① $f (x)$ 是增函数；② $f (x) \leq 75$ 恒成立；③ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立．）

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{x}{30} + 10$ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = a \sqrt{x} - 5 (a \geq 1)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 $a$ 的取值范围．
（参考结论：函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 的增区间为 $(- \infty, - \sqrt{a})$ 、 $(\sqrt{a}, + \infty)$ ，减区间为 $(- \sqrt{a}, 0)$ 、 $(0, \sqrt{a})$ ）

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$x$	1	2	1.5	1.75	1.7656	1.7578	1.7617
$f (x)$	－6	3	－2.625	－0.14063	0.035181	－0.05304	－0.0088