人教A版数学高一（上）期末提分专题复习3 函数与不等式

试卷更新日期：2023-12-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知 $a > b > c$ ，则（）

A、 $a b > b c$ B、 $a | c | > b | c |$ C、 $\frac{1}{b - c} > \frac{1}{a - c}$ D、 $a^{2} > b^{2} > c^{2}$

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2. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，若 $a < b < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a < 2 b$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a^{2} > a b$

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3. 已知 $a > 1$ ， $b > \frac{1}{2}$ ，且 $2 a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{2 b - 1}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $9$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 3$ ”是“ $x (x - 2) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. “关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 a x - 2 < 0$ 恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 ${a | - 1 \leq a \leq 0}$ B、 ${a | - 2 < a \leq 0}$ C、 ${a | - 2 < a < 1}$ D、 ${a | a < - 2$ 或 $a \geq 0}$

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6. 设集合 $A = {- 2 ， 0 ， 2} ， B = {x | x^{2} - x - 2 = 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{2\}$ C、 ${0}$ D、 ${- 2}$

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二、多项选择题

7. 下列命题叙述正确的是（）

A、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m < 0$ 时， $\frac{b + m}{a + m} < \frac{b}{a}$ C、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、 $\exists a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{b - m}{a - m} < \frac{b}{a}$

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8. 设 $0 < a < b ， a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > b$ B、 $a < 2 a b < \frac{1}{2}$ C、 $a > a^{2} + b^{2}$ D、 $\frac{1}{2} < a^{2} + b^{2} < 1$

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9. 已知 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则下列不等式中错误的是（）

A、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$ B、 $c^{2} < c d$ C、 $a + c < b + d$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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10. 若 $x \geq y$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $2^{x} \geq 2^{y}$ B、 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ C、 $x^{2} \geq y^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$

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11. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 2)$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < 0$ B、关于 $x$ 的不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2)$ C、 $4 a - 2 b + c > 0$ D、关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $（ - 1 ， \frac{1}{2} ）$

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12. 下列选项中正确的有（）

A、若集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x | a x + 2 = 0}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数a的取值所组成的集合是 ${- 1 ， 2}$ . B、若不等式 $a x_{}^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 3 |}$ ，则不等式 $c x_{}^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < \frac{1}{3} 或 x > 1 |}$ . C、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 2 ， 3]$ ，则 $y = f (x - 1)$ 的定义域是 $[0 ， 5]$ . D、已知一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 的两根都在 $(0 ， 2)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围是 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ .

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13. 已知 $a ， b > 0$ ， $a + b^{2} = 1$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + b < \sqrt{2}$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $a + 2 b$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b^{2}} \geq 9$

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14. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $e^{x} > x + 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 0$ ，使得 $e^{x} \leq x + 1$ ” B、当 $x > 1$ 时， $2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件

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三、填空题

15. 已知 $- 1 \leq a + b \leq 1 ， - 1 \leq a - b \leq 1$ ，求 $2 a + 3 b$ 的取值范围．

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16. 已知实数 $x ， y$ 满足 $- 1 \leq x < 2$ ， $0 < y \leq 1$ ，则 $x - 3 y$ 的取值集合是.（用区间表示）

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17. 已知 $a_{1}$ ， $a_{2} \in (0 ， 1)$ 记 $M = a_{1} a_{2}$ ， $N = a_{1} + a_{2} - 1$ 则M与N的大小关系为.

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18. 若 $a$ ， $b$ 为正实数，直线 $x + (2 a - 1) y + 1 = 0$ 与直线 $b x + 2 y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a b$ 的最大值为．

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19. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 2 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 交于点 $P (x ， y)$ ，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值为．

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20. 能说明“ $\exists x \in R ， a x^{2} - a x - 1 \geq 0$ ”为假命题的一个实数 $a$ 的值为.

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21. 对于任意实数 $x$ ，不等式 $a x^{2} + 2 a x - (a + 2) < 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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22. 若不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集是 ${x | \frac{- 1}{3} \leq x \leq 2}$ ，函数 $f (x) = c x^{2} + b x + a$ ，当 $x ∈ R$ 时 $f (x) \geq \frac{- 49}{24}$ 恒成立，则实数a的取值范围是

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23. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x - 2 < 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

24.

(1)、解不等式 $- 4 x^{2} + 4 x - 1 < 0$ ；

(2)、用作差法比较大小 $(2 a + 1) (a - 3)$ 与 $(a - 6) (2 a + 7) + 45$ .

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25. 已知 $a^{2} + 8 b^{2} = 4$ ．

(1)、若 $a$ 与 $b$ 均为正数，求 $a b$ 的最大值；

(2)、若 $a$ 与 $b$ 均为负数，求 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}$ 的最小值．

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26.

(1)、若不等式 $x^{2} - a x + b < 0$ 的解集是 ${x ∣ 2 < x < 3}$ ，求不等式 $b x^{2} - a x + 1 > 0$ 的解集；

(2)、已知两个正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y \geq m^{2} - 2 m$ 恒成立，求实数m的范围．

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27. 某水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 2 (x^{2} + 17) ， 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x + 10$ 元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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28. 已知函数 $y = m x^{2} - m x - 1$

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求不等式 $y < 0$ 的解集；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $y < (1 - m) x - 1$ 的解集．

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29. 已知函数 $y = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R .$

(1)、 $y < 3 - 2 x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $y \geq 0$ 的解集；

(3)、若存在m>0使关于x的方程 $a x^{2} - (a + 2) | x | + 2 = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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30. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x (a ， b$ 为实数，且 $a \neq 0)$ ，满足条件 $f (x + 3) = f (- x - 1)$ ．

(1)、方程 $f (x) = x$ 有两个相等的实数根时，求函数 $f (x)$ 的解析式 $；$

(2)、不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集是 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式．

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31. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 2}$ ，求 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、已知函数 $g (x)$ 同时满足：① $g (x + 1) - 1$ 是奇函数；②当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m .$ 若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x$ （ $a$ ， $b$ 是常数且 $a \neq 0$ ）的一个零点是2，且方程 $f (x) = x$ 有两相等实根.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、问是否存在实数 $m$ ， $n$ （ $m < n$ ）使 $f (x)$ 的定义域和值域分别为 $[m ， n]$ 和 $[2 m ， 2 n]$ ，如果存在，求出 $m$ ， $n$ 的值；如果不存在，说明理由.（艺术班选做）

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33. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + 6 a + 9) x + a + 1$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，且关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | m < x < n}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值；

(2)、设关于x的不等式 $f (x) < 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围

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