2023~2024学年沪科版九年级上册期末数学质量评估卷【二】

试卷更新日期：2023-12-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $a c = b d$ （a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ B、 $\frac{c}{b} = \frac{d}{a}$ C、 $\frac{c + 1}{b} = \frac{d + 1}{a}$ D、 $\frac{b}{d} = \frac{c}{a}$

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3. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A、 $y = \frac{x}{3}$ B、 $y = \frac{3}{2 x + 1}$ C、y＝-2x D、 $y = \frac{3}{4} x^{- 1}$

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4. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 15$ ，那么下列等式正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{8}{17}$ B、 $c o s A = \frac{8}{15}$ C、 $t a n A = \frac{8}{17}$ D、 $c o s A = \frac{8}{15}$

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5. 若抛物线 $y = 2 {(x - m - 1)}^{2} + 2 m + 4$ 的顶点在第二象限，则m的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < 2$ C、 $1 < m < 2$ D、 $- 2 < m < - 1$

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6. 如图所示， $P$ 是 $△ A B C$ 的边AC上一点，连结BP.下列条件中，不能判定 $△ A B P ∽ △ A C B$ 的是（）.

A、 $\frac{A B}{A P} = \frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{B P}$ C、 $∠ A B P = ∠ C$ D、 $∠ A P B = ∠ A B C$

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7. 如图，坡角为 $30 °$ 的斜坡上有一棵大树 $M N$ （ $M N$ 垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成 $45 °$ 角沿斜坡照下时，在斜坡上树影 $N T$ 的长为30米，则大树 $M N$ 的高为（）

A、 $15$ 米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{3} - 15$ 米 D、 $15 \sqrt{3} + 15$ 米

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8. 如图， $A B$ 为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交 $A B$ 的延长线于点D， $D B = \frac{1}{3} A D$ ，连接 $A C$ ，若 $A B = 8$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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9. 王刚在练习投篮，篮球脱手后的运动轨迹近似为如图所示的抛物线 $y = - 0.2 x^{2} + x + 2.25$ ，已知篮圈高 $3.05$ 米，王刚投篮时出手高度 $O B$ 为 $2.25$ 米，若要使篮球刚好投进篮圈C，则投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为（）

A、 $2$ 米 B、 $3$ 米 C、 $4$ 米 D、 $5$ 米

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10. 如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm.D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（　　）

A、2.5 B、 $\sqrt{61}$ C、 $\sqrt{61} - 6$ D、5

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二、填空题

11. 已知二次函数 $y = - 2 (x - 2)^{2} + m$ 的图像经过原点，那么m的值为．

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12. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B = 8$ ，过点O作 $O P ⊥ A B$ 于点C，交 $⊙ O$ 于点P，若 $O C ： C P = 3 ： 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 在第二象限，连接 $O B$ ，过点 $B$ 作 $B A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象分别与 $O B$ 、 $A B$ 交于点 $F$ 、 $E$ ，连接 $E F$ ，若 $F$ 为 $O B$ 的中点，且四边形 $O A E F$ 的面积为 $10$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 如图，在直角三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，以 $C D$ 为折痕将 $△ C B D$ 折叠得到 $△ C F D$ ， $C F$ 与边 $A B$ 交于点 $E$ ，当 $D F ⊥ A B$ 时， $B D$ 的长是．

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三、计算题

15. $3 c o s 30 ° - t a n 60 ° + 2 s i n 30 ° - s i n^{2} 45 °$ .

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四、作图题

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (2 ， 4)$ .

(1)、请作出 $△ A B C$ 绕 $O$ 点逆时针旋转 $90 °$ 的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 扩大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在 $y$ 轴的左侧画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、请求出 $∠ A B C$ 的正弦值.

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五、解答题

17. 如图，直线y＝kx+b与双曲线 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．

(1)、分别求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、连接OA，OB，求△AOB的面积；

(3)、直接写出当x＜0时，关于x的不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为E，连接 $D E$ ， F为线段 $D E$ 上一点，且 $∠ A F E = ∠ B$ .

(1)、求证： $△ A D F ∽ △ D E C$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A E = 3$ ，求 $A F$ 的长．

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六、综合题

19. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为 $45 °$ 的防洪大堤(横断面为梯形 $A B C D)$ )急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡 $D E$ 的坡比 $i = 1 ： \sqrt{3}$ .

(1)、求加固后坝底增加的宽度 $A E$ ；(结果保留根号)

(2)、求完成这项工程需要多少方混泥土？(结果精确到1立方米， $\sqrt{3} \approx 1.73$ )

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20. 已知二次函数y=ax²+bx-3中的x，y满足下表：
x

-1
0
1
2
3

y

0
-3
-4
-3
m

(1)、求这个二次函数的解析式：

(2)、m= ；该函数图象与x轴的交点的坐标。

(3)、当y>0时，x的取值范围。

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21. 如图，点 $B$ 是 $△ A C D$ 边 $A C$ 上的一点，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交边 $A D$ 、 $C D$ 于点 $F$ 、 $E$ .
给出下列信息：
① $A E$ 平分 $∠ C A D$ ；
② $C D ⊥ A D$ ；
③直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(1)、请在上述 $3$ 条信息中，选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题.你选择的条件是 ▲ 、 ▲ ，结论是 ▲ （只要填写序号），并说明理由.

(2)、在（1）的情况下，若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $t a n ∠ E A D = \frac{3}{4}$ ，求 $E D$ 的长.

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22. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是抛物线上的动点，且满足 $S_{Δ P A O} = 2 S_{Δ P C O}$ ，求出 $P$ 点的坐标；

(3)、连接 $B C$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴一动点，点 $F$ 是抛物线上一动点，若以 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $F$ 的坐标．

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23. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，过点A作 $A D ⊥ B C$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ A C$ 于点E， $A D$ 与 $B E$ 相交于点H，连接 $D E$ . $∠ A E B$ 的平分线 $E F$ 交 $A B$ 于点F，连接 $D F$ 交 $B E$ 于点G.

(1)、求证： $∠ D B G = ∠ D A E$

(2)、试探究线段 $A E$ ， $B E$ ， $D E$ 之间的数量关系；

(3)、若 $C D = \sqrt{2} A F ， B E = 6$ ，求 $G H$ 的长.

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