浙江省绍兴市一初龙山2023-2023学年九年级上学期10月数学月考卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.

1. 下列函数中，常量3表示二次项系数的是（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = 3 x^{2}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = x^{2} + 3$

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2. 下列说法中，正确的是（）

A、“买中奖率为 $10 %$ 的奖券10张，中奖”是必然事件 B、“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 C、合肥市气象局预报说“明天的降水概率为 $70 %$ ”，意味着合肥明天一定下雨 D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 $\frac{1}{2}$

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3. 将二次函数 $y = 5 x^{2}$ 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（）

A、 $y = 5 (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = 5 (x - 3)^{2} + 2$ C、 $y = 5 (x + 3)^{2} - 2$ D、 $y = 5 (x - 3)^{2} - 2$

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4. 在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有（）

A、18 B、27 C、36 D、30

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5. 若二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ 的图象如图所示，则坐标原点可能是（）

A、P点 B、Q点 C、M点 D、N点

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6. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y= $- \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）

A、2m B、6m C、8m D、10m

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7. 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用一次可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（）

A、两次求助都用在第1题 B、两次求助都用在第2题 C、在第1第2题各用一次求助 D、无论如何使用通关概率都相同

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8. 如图，一条抛物线与 $x$ 轴相交于M，N点（点M在点 $N$ 的左侧)，其顶点 $P$ 在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为 $(- 2 ， 3) ， (1 ， 3)$ ，点 $N$ 的横坐标的最大值为4，则点 $M$ 的横坐标的最小值为（）

A、-1 B、-3 C、-5 D、-7

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9. 已知 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 均是以 $x$ 为自变量的函数， $a$ 为实数.当 $x = m$ 时，函数值分别为 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ ，若存在实数 $m$ ，使得 $M_{1} = M_{2}$ .则称 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 为友好函数，以下 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不一定是友好函数的是（）

A、 $y_{1} = x^{2} + 2 x$ 和 $y_{2} = 3 x + 1$ B、 $y_{1} = x^{2} + a - \frac{1}{2}$ 和 $y_{2} = - a x + \frac{a}{4}$ C、 $y_{1} = - \frac{2}{x}$ 和 $y_{2} = x - 3$ D、 $y_{1} = \frac{a + 2}{x}$ 和 $y_{2} = x + a$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的顶点在直线 $y = k x + 1$ 上，对称轴为直线 $x = 1$ ，有以下四个结论：① $a b < 0$ ， ② $b < \frac{1}{3}$ ， ③ $a = - k$ ， ④当 $0 < x < 1$ 时， $a x + b > k$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分.

11. 若点 $A (3 ， y)$ 在抛物线 $y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ 上，则 $y =$ .

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12. 甲、乙、丙三位同学做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他两人中的某一人，则第二次传球后球回到甲手里的概率是.

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13. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x$ ，当 $x \geq 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A、E分别作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作 $X$ 轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点 $E (2 ， 4)$ ，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为.

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15. 2023年5月8日，C919商业首航完成.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”.如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点 $H$ 处相遇，此时相遇点 $H$ 距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口 $A^{^{'}}$ 、 $B^{^{'}}$ 到地面的距离均保持不变，此时两条水柱相遇点 $H^{^{'}}$ 距地面米.

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16. 如图，四边形ABCD是正方形，点 $E$ 是线段BC上的动点，以BE为边作正方形BEFG，连接AF，M为AF的中点，且 $A B = 4$ ，则线段EM的最小值是.

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三、解答题:本大题有7个小题,共66分.

17. 设二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 (a ， b$ 是常数， $a \neq 0)$ ，部分对应值如表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
…

(1)、试判断该函数图象的开口方向.

(2)、当 $x = 4$ 时，求函数 $y$ 的值.

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18. 在第六届数字中国建设成果展览会召开之际，为培养学生对数字技术的兴趣，某校举行了“学习数字技术，走进数字时代”为主题的数字技术应用大赛.将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表：

成绩频数分布统计表

组别成绩x（分）人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 4

(1)、统计表中 $m =$ ，统计图中 $n =$ ， D组的圆心角是度；

(2)、D组的4名学生中，有2名男生和2名女生.从 $D$ 组随机抽取2名学生参加 $5 G$ 数字技术体验活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

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19. 已知，如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于A，B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ $(0 ， 6)$ 且经过点 $(1 ， 10)$ .

(1)、求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积，并写出 $y > 0$ 时 $x$ 的取值范围.

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20. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点 $E$ 的坐标为 $(- 1 ， - 10)$ ，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点 $O$ 的抛物线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 $(\frac{3}{4} ， \frac{9}{16})$ ，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.

(1)、求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点 $B$ 的坐标.

(2)、若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 $E$ 的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.

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21. 某重工机械公司为用户提供矿山机械设备，该设备每件的售价为18万元，每件的成本为 $y$ (万元)与月需求量 $x$ (件/月)满足关系式 $y = 6 + \frac{a}{x}$ ( $a$ 为常数)，其中 $x > 0$ .经市场调研发现，月需求量 $x$ 与月份 $n$ ( $n$ 为整数， $1 \leq n \leq 12$ )符合关系式 $x = 2 n^{2} - 26 n + 144$ ，且得到了下表中的部分数据.
月份 $n$ (月)
1
2
成本 $y$ (万元/件)
11
B
需求量 $x$ (件/月)
120
100

(1)、求 $y$ 与 $x$ 满足的关系式，并求表中 $b$ 的值；

(2)、设第 $n$ 个月的利润为 $w$ (万元)，请求出 $w$ 与 $n$ 的函数关系式，并求在这一年的前9个月中，哪个月的利润最大?最大利润是多少?

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22. 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $y = x + 1$ ，其“明德点”为 $(1 ， 2)$ .

(1)、①判断：函数 $y = 2 x + 3$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 $y = x^{2}$ 的图像上的明德点是；

(2)、若抛物线 $y = (m - 1) x^{2} + m x + \frac{1}{4} m$ 上有两个“明德点”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = x^{2} + (m - k + 2) x + \frac{n}{4} - \frac{1}{2} k$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $- 1 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为 $\sqrt{5}$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上， $B (- 1 ， 0) ， C 、 D$ 两点在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 上.

(1)、求此抛物线的表达式；

(2)、正方形ABCD沿射线CB以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位长度平移，1秒后停止，此时 $B$ 点运动到 $B_{1}$ 点，试判断 $B_{1}$ 点是否在抛物线上，并说明理由；

(3)、正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} ， A_{2}$ 点在 $x$ 轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离.

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组别	成绩x（分）	人数
A	60≤x＜70	10
B	70≤x＜80	m
C	80≤x＜90	16
D	90≤x≤100	4

月份 $n$ (月)	1	2
成本 $y$ (万元/件)	11	B
需求量 $x$ (件/月)	120	100

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	5	0	-3	-4	-3	…