浙江省杭州市萧山、余杭、富阳、临平2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求.

1. 二次函数 $y = (x - 3) (x + 5)$ 的图象的对称轴是（）

A、直线 $x = 3$ B、直线 $x = - 5$ C、直线 $x = - 1$ D、直线 $x = 1$

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2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（）

A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B、 $a$ 是实数， $| a | ⩾ 0$ C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D、两数相加，和是正数

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3. 二次函数 $y = (x - 1)^{2}$ 的图象向左平移 $3$ 个单位后的函数为（）

A、 $y = (x - 4)^{2}$ B、 $y = (x + 2)^{2}$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 3$ D、 $y = (x - 1)^{2} - 3$

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4. 从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 函数 $y = k x + k$ 和函数 $y = - k x^{2} + 4 x + 4 (k$ 是常数，且 $k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 关于二次函数 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 的说法正确的是（）

A、当 $x = 1$ 时， $y$ 有最大值2 B、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、当 $x$ 取0和2时，所得到的 $y$ 的值相同 D、图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0 ， 2)$

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，若 $y > - 3$ ，则自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < 1$ 或 $x > 3$ C、 $0 < x < 2$ D、 $1 < x < 3$

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8. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示(其中P是该抛物线的顶点)，下列说法正确的是（）

A、小球滑行6秒停止 B、小球滑行12秒停止 C、小球滑行6秒回到起点 D、小球滑行12秒回到起点

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9. 已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（）

A、 $y = - 4 (x - m)^{2} - m^{2} - 2$ B、 $y = - (x + a) (x - a + 1)$ C、 $y = - x^{2} - (a + 3) x + (- \frac{3}{5} a)$ D、 $y = a x^{2} - b x + b - a$

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10. 已知 $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a (x - m) (x - n) (a \neq 0)$ ，其图象与 $y$ 关于 $x$ 的函数 $y = k x$ $+ b$ 的图象交于点 $(1 ， y_{1}) ， (6 ， y_{2})$ ，则下面判断正确的是（）

A、若 $m + n > 7 ， a > 0$ ，则 $k > 0$ B、若 $m + n > 7 ， a < 0$ ，则 $k < 0$ C、若 $m + n < 7 ， a > 0$ ，则 $k < 0$ D、若 $m + n < 7 ， a < 0$ ，则 $k < 0$

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二、填空题:本题有6个小题,每小题4分,共24分.

11. 二次函数 $y = \frac{1}{2} (x - 3)^{2} + 5$ 的最小值是．

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12. 抛物线的形状与 $y = x^{2}$ 相同，顶点是 $(- 2 ， 3)$ ，该抛物线解析式为．

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13. 一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是．

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14. 抛物线y＝x²＋2经过点(c，c²＋c)，则c的值是．

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15. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + 2$ ，当 $t < x < 5$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $t$ 的范围是．

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16. 已知 $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = (x - m)^{2} - (x - m)$ ，图象对称轴为直线 $x = n$ ，则n，m满足的关系式是；若把该函数图象向上平移 $k$ 个单位，使得对于任意的 $x$ 都有 $y > 0$ ，则 $k$ 的取值范围是

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三、解答题:本题有7小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知二次函数 $y = - (x + 1)^{2} + 4$ 的图像如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数 $y = - (x - 2)^{2} + 7$ 的图像.

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18. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + k$ 的图象过点 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式．

(2)、求该二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标．

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19. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其
差别．

(1)、从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．

(2)、从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．(要求列表或画树状图说明)

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20. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2 ， B C = 4 ， E ， F ， G ， H$ 四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各项顶点重合），且AE=AH=CG=CF，记四边形EFGH面积为 $S$ (图中阴影)， $A E = x$ .

(1)、求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围.

(2)、求 $x$ 为何值时， $S$ 的值最大，并写出 $S$ 的最大值.

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21. 已知，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a ， b ， c是常数，且a≠0)的部分对应值为：
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
－2
－2
n
…

(1)、求n的值和二次函数的解析式．

(2)、判断点Q(m ， 4)是否在该函数图象上？若在，求m的值，若不在，说明理由．

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22.
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)、将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

(3)、该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

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24. 已知，在平面直角坐标系中，有二次函数 $y = a x^{2} + (a + 1) x (a \neq 0)$ 的图象.

(1)、若该图象过点 $(1 ， - 3)$ ，求这个二次函数的表达式.

(2)、 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 是该函数图象上的两个不同点，
①若 $x_{1} + x_{2} = 4$ 时，有 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $a$ 的值；
②当 $x_{1} > x_{2} ⩾ - 3$ 时，恒有 $y_{1} > y_{2}$ ，试求 $a$ 的取值范围.

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x	…	－1	0	1	2	…
y	…	0	－2	－2	n	…