浙江省绍兴市浣江教育共同体2023-2024学年九年级上学期数学期中测试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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2. 已知⊙O的半径为 $5 c m$ ，点P到圆心O的距离为 $4 c m$ ，则点P（）

A、在圆内 B、在圆上 C、在圆外 D、不能确定

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3. 二次函数 $y = x_{}^{2} + 1$ 的图象与y轴的交点坐标是（）

A、（－1，0） B、（1，0） C、（0，1） D、（0，－1）

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4. 若两个三角形的相似比为1：3，则它们的面积比为（）

A、1：3 B、1：9 C、3：1 D、9：1

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5. 一个不透明的盒子里有6个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 关于二次函数 $y = 2 (x - 4)_{}^{2} + 6$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A、有最大值4 B、有最大值6 C、有最小值4 D、有最小值6

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7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）

A、110° B、120° C、130° D、140°

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8. 如图，有一块直角三角形余料ABC ， ∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG ，其中E ， F在BC上，点G在AB上，若 $B F = \frac{9}{2} c m ， C E = 2 c m$ ，则矩形纸条DEFG的面积为（　　） $c m_{}^{2}$ .

A、3 B、 $\frac{39}{2}$ C、19 D、 $\frac{13}{2}$

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9. 二次函数 $y_{1}^{} = - x_{}^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2}^{} = k x - 9$ 的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使 $y_{1}^{} < y_{2}^{}$ ，则x的取值范围是（　　）

A、2＜x＜3 B、x＜3 C、x＜2或x＞3 D、x＞2

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10. 如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D ，点E是弧AD的中点．连接OE ，则OE的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $4 - \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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二、填空题（本题有6小题.每小题4分，共24分）

11. 成语“守株待兔”反映的事件是事件（填必然、不可能或随机）．

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12. 已知扇形的圆心角为120°，它的弧长为 $6 π$ ，则它的半径为．

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13. 若二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 3$ 的图象与x轴的一个交点是（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是．

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14. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm ，则AP的长为 cm ．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD ，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F ．已知AC＝1，BC＝2，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为．

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16. 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为．

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三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）

17. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求袋子中白球的个数；

(2)、随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）

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18. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ， CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，求该古城墙的高度CD ．

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19. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1， $\frac{7}{10}$ ），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，在线段AC上取点D ，使AD＝2CD ，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E ．

(1)、不添其他辅助线写出图中一对相似三角形，并说明理由；

(2)、求弦CE的长．

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21. 诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元（x≥7）．

(1)、若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值．

(2)、当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？

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22. 如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m ，宽AB为3m ，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m ．

(1)、求圆弧AED所在圆的半径；

(2)、如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6m ，宽3.3m ，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由．

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23. 已知二次函数 $y = x_{}^{2} + b x + c$ ．

(1)、当 $b = - 2 ， c = - 3$ 时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当 $- 1$ ≤x≤4时，求y的取值范围；

(2)、当x≤0时，y的最小值为 $- 8$ ；当x＞0时，y的最小值为 $- 9$ ，求二次函数的表达式．

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24. 如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H ．

(1)、当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；

(2)、如图2，连接DF ， CE ， BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G ， F ， D三点共线时，延长BF交AD于点M ， $F M = 2 \sqrt{2} ， F D = 6$ 时，求BC的长．

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