广东省广州市重点中学2023-2024学年高一年级上学期12月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若集合 $A = {x ∣ x > 1}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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2. 已知 $a ､ b ､ c$ 都是实数，则“ $a < b$ ”是“ $a c^{2} < b c^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $α$ 是锐角，那么 $2 α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、小于 $18 0^{∘}$ 的正角 D、第一或第二象限角

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4. 设 $a = 3^{0.7} ， b = e^{0} ， c = l o g_{3} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5. 函数 $y = l n (1 - x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 设 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x ⩾ 0$ 时， $f (x) = 2 + 2^{x} + b$ （ $b$ 为常数），则 $f (- 1) =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x ⩽ 2 \\ - x + 5 ， x > 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 恰有两个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(1 ， 3) \cup {0}$ D、 $[1 ， 3) \cup {0}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = l g x^{2}$ 与 $g (x) = 2 l g x$ B、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{(x - 1)^{3}}$ C、 $f (x) = x + 2 ， x \in R$ 与 $g (x) = x + 2 ， x \in Z$ D、 $f (u) = \sqrt{\frac{1 + u}{1 - u}}$ 与 $f (t) = \sqrt{\frac{1 + t}{1 - t}}$

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10. 下列命题中是真命题的是（）

A、满足 ${a}$ ⫋ $P \subseteq {a ， b ， c}$ 的集合 $P$ 的个数是3个 B、命题“ $\exists x \in R$ ，使 $x^{2} + x - 1 < 0$ ”的否定是：“ $\forall x \in R$ 均有 $x^{2} + x - 1 > 0$ ” C、函数 $y = 2^{| x |}$ 的图象关于原点对称 D、函数 $y = 2^{| x |}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c ⩾ 0$ 的解为 ${x ∣ x ⩽ - 3$ 或 $x ⩾ 4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 12}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}}$

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12. 下列选项中正确的有（）

A、已知正实数 $x ， y ， z$ 满足 $3^{x} = 5^{y} = 1 5^{z}$ ，则 $x + y = z$ B、 $y = - l o g_{a} x ， y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ 互为反函数 C、若函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上连续，且同时满足 $f (a) \cdot f (b) < 0 ， f (a) \cdot f (\frac{a + b}{2}) > 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[\frac{a + b}{2} ， b]$ 上有零点 D、已知角 $α$ 的终边与单位圆交点坐标为 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，则 $c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13. 计算 $l o g_{3} \frac{1}{4} + l o g_{3} 12 - 0 . 6^{0} + 0 . 2^{- 1} =$ .

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14. 函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}}$ 的定义域为.

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x ⩾ 0 \\ 2 x ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 10$ ，则 $a =$ .

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16. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1 ， g (x) = l o g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，都存在 $x_{2} \in [2 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题洪6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ，求 $\cos α$ ， $\tan α$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{b}{x}$ 过点 $(1 ， 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (- 1)$ 的值；

(3)、判断 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义证明.

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19.
已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x < 0} ， B = {x ∣ m ⩽ x ⩽ 3 m - 2}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、如果 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20.

(1)、若正数 $a ， b$ 满足 $\frac{2}{a} + \frac{8}{b} = 1$ ，求 $a + b$ 的最小值，并求出对应的 $a ， b$ 的值；

(2)、若正数 $x ， y$ 满足 $x + y + 8 = x y$ ，求 $x y$ 的取值范围.

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21.
某电动摩托车企业计划在2023年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，生产该款电动摩托车 $x$ 万台需投入资金 $P (x)$ 万元，且 $P (x) = {\begin{array}{l} m x^{2} + 2600 x ， 0 < x < 4 \\ \frac{5001 x^{2} - 5010 x + 25}{x} ， x \geq 4 \end{array}$ ，当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完.

(1)、求2023年该款摩托车的年利润 $F (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：万台）的函数解析式；

(2)、当2023年该款摩托车的年产量 $x$ 为多少时，年利润 $F (x)$ 最大？最大年利润是多少？（年利润=销售收入-投入资金-设备改造费）

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22.
已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 2 a) + l o g_{a} (x - 3 a) ， (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (2)$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，若方程 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (p - x)$ 在 $(3 ， 4)$ 上有解，求实数 $p$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \leq 1$ 在 $[a + 3 ， a + 4]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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