湖北省黄冈市部分普通高中2023-2024学年高三上学期阶段性教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题5分，共8小题40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} = z + 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、i B、1 C、 $- i$ D、 $- 1$

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2. 已知集合 $A = {x | a - 1 < x < a + 2}$ ， $B = {x | x ² - 6 x + 5 < 0}$ ，若 $A ∩ B = {x | a - 1 < x < 5} \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[3 ， 6)$ D、 $[2 ， 6)$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} - θ) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A B$ 和 $C D$ 上，满足 $\vec{A M} = λ \vec{M B}$ ，若 $\vec{M N} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H，G，L，Y四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A为“甲和乙至少一人选择景点G”，事件为B“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 1$ ， $a_{n} a_{n + 2} = - 1$ ，设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、1 B、0 C、5 D、 $- 5$

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7. 若 $n$ 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、6 B、7 C、8 D、10

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| x + 1 |} - \sqrt{| x - 1 |}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (x) + f (- x) > 0$ B、方程 $f (x) = m$ 有两个不同实根，则实数 $m$ 的取值范围是 $(- 1 ， 1)$ C、 $\exists x \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x) = f (2 - x)$ D、若 $f (a) \geq f (2 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $[1 ， + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a > | b |$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $\frac{1}{a + b} > \frac{1}{2 a}$ D、若 $a b = - 1$ ，则 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} < \frac{4}{a - b}$

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10. 下列命题中是真命题的有（）

A、若 $2^{x} = 3$ ， $3^{y} = 8$ ，则 $x y = 3$ B、若 $0 < a < 1$ ， $b < - 1$ ，则函数 $y = a^{x} + b$ 的图象必定不经过第一象限 C、在 $△ A B C$ 中，“ $C = \frac{π}{2}$ ”是“ $s i n A = c o s B$ ”的充要条件 D、对于任意实数 $x$ ，用 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[π] = 3$ ， $[0.1] = 0$ ， $[- 2.1] = - 3$ ，则“ $[x] > [y]$ ”是“ $x > y$ ”的充分不必要条件

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11. 函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，设 $f^{'} (x)$ 为 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相交，其中有三个相邻的交点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ ，则下列结论中正确的有（）

A、对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (\frac{5 π}{6})$ B、将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，即得函数 $f^{'} (x)$ 的图象 C、 $f (x + φ)$ 为偶函数，则正实数 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{13 π}{12} ， - \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增

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12. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足：①对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒有 $x f^{'} (x) - f (x) = x$ ；②对任意的正数 $m$ ， $n$ 恒有 $f (m n) = n f (m) + m f (n) + m n$ ．则下列结论中正确的有（）

A、 $f (1) = - 1$ B、过点 $(e ， f (e))$ 的切线方程 $y = x - 1$ C、对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \geq x - e$ 恒成立 D、若 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x) + x^{2}$ 的极值点，则 $f (x_{0}) + 3 x_{0} > 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 公比为2的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2023} - S_{2020} = 1$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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14. 函数 $f (x) = c o s (s i n x) - 1$ 在区间 $[0 ， a]$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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15. 甲袋中有 $a$ 个苹果， $b$ 个橘子，乙袋中有3个苹果，2个橘子，现从甲袋中随机取一个水果放在乙袋，再从乙袋中随机取一个水果，若从乙袋中取出的水果是苹果的概率为 $\frac{11}{18}$ ，则 $a + \frac{6}{b}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{a x}$ 与函数 $g (x) = \frac{l n x}{a}$ 互为反函数，它们的图象关于 $y = x$ 对称．若关于 $x$ 的不等式 $e^{a x} \geq x + \frac{1}{a} \geq \frac{l n x}{a}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 边上一点，满足 $C A = C D = 1$ ， $s i n B = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $c o s ∠ B A C = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ．

(1)、求 $A B$ ；

(2)、求 $∠ B A D$ ．

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18. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．

(1)、为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：

选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
70
40岁以上（包含40岁）
60
100
合计
200
完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关．

(2)、为了解某一地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为 $\hat{y} = 4.7 x - 9495.2$ ，且销量 $y$ 的方差 $s_{y}^{2} = 50$ ，年份 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ ．求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断该地区新能源汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的相关性强弱；
参考公式：（i）线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + a$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
（ii）相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强；
（iii） $X^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
附表：
$α$
$0.100$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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19. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，数列 ${\frac{l o g_{2} T_{n}}{n}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n + 1}}{a_{n}}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最大值与最小值．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c s i n^{2} (\frac{π}{4} - \frac{B}{2}) + b c o s \frac{C}{2} = c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、 $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2$ ，点 $O$ 为线段 $B C$ 的中点，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A B$ 和 $A C$ 上，满足 $O M ⊥ O N$ ，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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21. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下：
成绩（分）
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$
频数
6
12
18
34
16
8
6

(1)、现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；

(2)、若该市所有参赛市民的成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (64 ， 1 5^{2})$ ，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；

(3)、为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量 $n (n \leq 20 ， n \in N^{*})$ ，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为 $0.1 k (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完 $n$ 题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）．
已知市民甲答对每道题的概率均为 $0.6$ ，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量 $n$ 为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq Z \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - σ \leq Z \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq Z \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $e^{x} - 1 = \frac{l n x + a}{x}$ 有两个不同实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{1} x_{2} < \frac{1}{e}$ ．

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	选择新能源汽车	选择传统汽车	合计
40岁以下	70
40岁以上（包含40岁）		60	100
合计			200

$α$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

成绩（分）	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$
频数	6	12	18	34	16	8	6