广东省深圳市罗湖重点中学2023-2024学年高二上学期12月阶段性考试数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数列1，1，1，…，1，…必为（）

A、等差数列，但不是等比数列 B、等比数列，但不是等差数列 C、既是等差数列，又是等比数列 D、既不是等差数列，也不是等比数列

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 12 ， a_{4} + a_{5} + a_{6} = 18$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差是（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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3. 已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A D_{1}} = x \vec{C D} + y \vec{C C_{1}} + z \vec{B D}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $- 2$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 10$ ， $S_{6} = 20$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、20 B、30 C、40 D、50

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} a_{n} + 2 n$ ， $n \in N *$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、32 B、50 C、72 D、90

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6. 已知圆 $C$ 经过点 $M (1 ， 2) ， N (3 ， 0)$ ，则点 $P (2 ， - 1)$ 到圆心 $C$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、1

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7. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)，直线x＝ $\frac{a}{2}$ 与椭圆E交于A ， B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则椭圆E的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m ，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）

A、 $\frac{M {(1 + m)}^{10}}{{(1 + m)}^{10} - 1}$ B、 $\frac{M m}{{(1 + m)}^{10}}$ C、 $\frac{M m {(1 + m)}^{10}}{{(1 + m)}^{10} - 1}$ D、 $\frac{M m {(1 + m)}^{10}}{{(1 + m)}^{10} + 1}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知数列 $\sqrt{2} ， 2 ， \sqrt{6} ， 2 \sqrt{2} ， …$ ，则下列说法正确的是（）

A、此数列的通项公式是 $a_{n} = \sqrt{2 n}$ B、 $8$ 是它的第 $32$ 项 C、此数列的通项公式是 $a_{n} = \sqrt{n + 1}$ D、 $8$ 是它的第 $4$ 项

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10. 直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 与圆 $C ： (x + a)^{2} + y^{2} = 2 (- 1 \leq a \leq 3)$ 的公共点的个数可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示的曲线中，可以是（）

A、双曲线 B、椭圆 C、圆 D、抛物线

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 ${a_{n}}_{＋ 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、 $a_{n} \geq n + 1$ C、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{99}} < 1$ D、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{99} \leq 4 \cdot (\frac{3}{2})^{99} - 4$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列 $- 2 ， a_{1} ， a_{2} ， - 8$ 成等差数列， $- 2 ， b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， - 8$ 成等比数列，则 $\frac{a_{2} - a_{1}}{b_{2}}$ 的值为.

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14. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 的离心率为.

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15. 已知平面 $α$ 经过原点 $O$ ，且法向量为 $\vec{n} = (2 ， 1 ， 2)$ ，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ ，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $S_{n} + a_{n + 1} = a_{n + 2} - 1 (n \in N_{+})$ ，记 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{(a_{n + 2} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对 $\forall x \in N_{+}$ ， $k > T_{n}$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，求过点 $P (1 ， 2)$ 的圆的切线方程．

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18. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = - 2 n^{2} + 15 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $n$ 为何值时， $S_{n}$ 取得最大值并求其最大值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底 $A B C D$ 面是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D A = 2$ ， $D C = 1$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $Q$ 在 $P M$ 上，且 $P Q = 2 Q M$ .

(1)、证明： $D Q ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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20. 如果有穷数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ a_{m}$ （ $m$ 为正整数）满足条件 $a_{1} = a_{m}$ ， $a_{2} = a_{m - 1}$ ， …， $a_{m} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{m - i + 1}$ （ $i = 1 ， 2 ， ⋯ m$ ），我们称其为“对称数列”．例如，1，2，5，2，1是“对称数列”．

(1)、设 ${b_{n}}$ 是7项的“对称数列”，其中 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， b_{4}$ 是等差数列，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{4} = 11$ ．依次写出 ${b_{n}}$ 的每一项；

(2)、设 ${c_{n}}$ 是49项的“对称数列”，其中 $c_{25} ， c_{26} ， ⋯ ， c_{49}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，求 ${c_{n}}$ 各项的和S ．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于零，且 $a_{2} = b_{2} = 3 ， a_{4} = b_{4} = 27$ 。

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {log}_{3} b_{n} + 1$ ，求数列 ${\frac{1}{c_{n} c_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ 。

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $B ， D$ 两点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A ， C$ 两点，且 $A C ⊥ B D$ ，求 $| A C | + | B D |$ 的最小值.

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