广东省广州市重点学校2023—2024学年高二年级上学期12月质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ， $a_{1} = - 1$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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2. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $N$ 是 $B C$ 的中点.设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ，则（）

A、 $\vec{A N} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{A N} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{A N} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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3. 三角形的三个顶点为 $A (2 ， - 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (- 5 ， 4)$ ，则 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 的长为（）

A、3 B、5 C、9 D、25

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 8$ ， $S_{8} = 20$ ，则 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12}$ 等于（）

A、12 B、8 C、20 D、16

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5. 点 $(5 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、4 B、3 C、5 D、 $\frac{9}{4}$

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6. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l$ ： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $4 - 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 3$ ， $A B = 4$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $C_{1} D$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $M$ 是平面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} M$ 与平面 $E F G$ 平行，则 $\vec{M B_{1}} \cdot \vec{M D_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、9 C、 $\frac{11}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x - (a + 2) y - 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a - 2) x + 3 a y + 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $l_{1}$ 恒过点 $(- 1 ， - 1)$ B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a = \pm 1$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或 $a = - 4$ D、若 $l_{2}$ 不经过第三象限，则 $a < 0$

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10. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 66$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 57$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 的公差为 $- 2$ B、 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 31 - 3 n$ C、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{59 n - 3 n^{2}}{2}$ D、 ${| a_{n} |}$ 的前50项和为2565

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11. 如图，已知 $E$ ， $F$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B C$ 和 $C D$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} E$ 与 $B_{1} D_{1}$ 是异面直线 B、 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成角的大小为 $\frac{2 π}{3}$ C、 $A_{1} F$ 与平面 $B_{1} E B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、二面角 $C - D_{1} B_{1} - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ 的焦点为 $F$ 、 $P$ 为其上一动点，当 $P$ 运动到 $(t ， 1)$ 时， $| P F | = 2$ ，直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $M (4 ， 1)$ ，下列结论正确的是（）

A、抛物线的方程为 $x^{2} = 8 y$ B、 $| P M | + | P F |$ 的最小值为4 C、当直线 $l$ 过焦点 $F$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切 D、存在直线 $l$ ，使得 $A$ ， $B$ 两点关于 $x + y - 5 = 0$ 对称

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， 1 ， 0)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c} =$ .

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14. 已知 $A (3 ， 4)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，则过 $A B$ 的中点且倾斜角为120°，直线的点斜式方程是.

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15. 设双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，以 $Γ$ 的实轴为直径的圆记为 $C$ ，过点 $F_{1}$ 作 $C$ 的切线 $l$ ， $l$ 与 $Γ$ 的两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $c o s ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $Γ$ 的离心率的值为.

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16. 已知 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[0.2] = 0$ ， $[1.2] = 1$ ， $[- 0.5] = - 1$ ，设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{n}{2} (1 + a_{n})$ ，且 $S_{3} = 15$ ，记 $b_{n} = [l o g_{2} a_{n}]$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前100项和为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 7$ ， $S_{3} = - 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知圆 $C$ 过点 $A (6 ， 0)$ ， $B (1 ， 5)$ .

(1)、求线段 $A B$ 的垂直平分线所在的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 的圆心在直线 $2 x - 7 y + 8 = 0$ 上，求圆 $C$ 的方程.

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $P (2 ， - 1)$ 作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 1$ ， $S_{10} = 20$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求出 $S_{n}$ 的最小值；

(3)、 $b_{n} = | a_{n} |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $A D$ 上，且 $A M = a$ ， $t a n ∠ P M A = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求平面 $M P C$ 与平面 $A P C$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $N$ 是直线 $C D$ 上的动点，求 $△ N P B$ 面积的最小值，并说明此时点 $N$ 的位置.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $T$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ T F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $A (0 ， 1)$ ，过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，直线 $A M$ ， $A N$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $P$ ， $Q$ ，证明：以 $P Q$ 为直径的圆过定点.

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