广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} = x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $- x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 \geq 0$ ”为真命题，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq m \leq 3$ B、 $m \leq - 3$ 或 $m \geq 1$ C、 $m \leq - 1$ 或 $m \geq 3$ D、 $- 3 \leq m \leq 1$

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3. 函数 $f (x) = x - 2 + l o g_{2} x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. “关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a > 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $0 < a \leq 1$

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5. 已知 $f (x) = 2 x + 1$ ， $a = l o g_{2} 0.7$ ， $b = 3^{0.2}$ ， $c = 0 . 2^{1.3}$ ，则 $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (c) < f (a) < f (b)$ C、 $f (a) < f (b) < f (c)$ D、 $f (b) < f (c) < f (a)$

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6. 函数 $y = \frac{1}{x} - \ln (x + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x) = l o g_{a} (4 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $A (m ， n)$ ，若对任意正数x，y，都有 $m x + n y = 3$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (x - 1) | ， 1 < x \leq 3 \\ x^{2} - 8 x + 16 ， x > 3 \end{array}$ ，若方程 $y = f (x) - m$ 有4个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | x < - 4 或 x > 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $12 a + c = 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $\frac{a x - b}{a x - c} \leq 0$ 的解集为 ${x | - 12 < x \leq 1}$

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11. 已知 $m i n {a ， b ， c}$ 表示a，b，c中的最小值，设函数 $f (x) = m i n {| x - 3 | ， 3^{| x |} - 1 ， | x + 3 |}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (f (3)) = 1$ B、函数 $f (x)$ 为偶函数 C、函数 $f (x)$ 的最小值为0 D、当 $x \in [- 3 ， 3]$ 时， $f (x) - 1 \leq a$ ，则 $a$ 的取值范围为 $[2 ， + \infty)$

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12. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其图像是连续不断的，且存在常数 $λ (λ \in R)$ 使得 $f (x + λ) + λ f (x) = 0$ 对任意实数x都成立，则称 $f (x)$ 是一个“ $λ$ ~特征函数”。下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 0$ 是常数函数中唯一的“ $λ$ ~特征函数” B、 $f (x) = e^{x}$ 是“ $λ$ ~特征函数” C、 $f (x) = 2 x + 1$ 不是“ $λ$ ~特征函数” D、“ $\frac{1}{3}$ ~特征函数”至少有一个零点

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2 x + \frac{1}{x} ， x < 0 \\ x^{2} - 3 x + 1 ， x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (2)) =$ .

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14. 计算 $3^{l o g_{3} 2} - {(- \frac{3}{2})}^{- 2} \times {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} + l g \frac{5}{2} + 2 l g 2 =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + a + 2 ， x \leq 1 \\ x^{2 a - 6} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1 - 3 a ， 2 a + 1]$ 上的奇函数，当 $0 \leq x \leq 2 a + 1$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，若 $f (l o g_{a} m) > 3$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.
已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0}$ ，集合 $B = {x | 2 m + 3 < x < m^{2}}$ ， $m \in R$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18.
已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在 $R$ 上单调递增，函数 $g (x) = x^{- 1} + k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、记 $f (x)$ ， $g (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上的值域分别为集合A，B，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数k的取值范围.

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19.
设 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）其图象经过点 $(\sqrt{e} ， \frac{1}{2})$ ，又 $g (x)$ 的图象与 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称.

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[\sqrt{e} ， c]$ 上的值域为 $[m ， n]$ ，且 $n - m = \frac{3}{2}$ ，求 $c$ 的值；

(2)、若 $g (2 m) = 4$ ， $g (n) = 25$ ，求 $2 m + n$ 的值.

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20.
已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 5 (a > 1)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的定义域和值域均是 $[1 ， a]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$ ，且对任意的 $x \in [0 ， 1]$ ，都存在 $x_{0} \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21.
某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 台设备，另需投入成本 $t$ 万元，若年产量不足150台，则 $t = \frac{1}{2} x^{2} + 128 x$ ；若年产量不小于150台，则 $t = 210 x + \frac{400000}{x} - 6900$ ，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.

(1)、写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；

(2)、年产量为多少台时，该企业所获利润最大？

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22.
已知函数 $f (x) = a^{x} + (1 - m) a^{- x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是奇函数，且过点 $(- 1 ， - \frac{3}{2})$ .

(1)、求实数m和a的值；

(2)、设 $g (x) = l o g_{t} [2^{2 x} + 2^{- 2 x} - t f (x)] (t > 0 ， t \neq 1)$ ，是否存在正实数t，使关于x的不等式 $g (x) \leq 0$ 对 $x \in [1 ， l o g_{2} 3]$ 恒成立，若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由.

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