广东省佛山市重点中学2023-2024学年高三上学期12月数学月考试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）

1. 已知i为虚数单位，复数z满足 $z (1 + i) = - 1$ ，则共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $M = {x | | x - 3 | < 1}$ ， $N = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，那么“ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{x | x |}{e^{x} - e^{- x}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $c o s (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 7$ ， $\frac{S_{10}}{10} - \frac{S_{5}}{5} = 10$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、63 B、72 C、135 D、144

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6. 如图，棱长都相等的平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $∠ D A B = ∠ A^{'} A D = ∠ A^{'} A B = 60 °$ ，则二面角 $A^{'} - B D - C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k e^{x}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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8. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ．若 $x = - \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x)$ 的零点， $x = \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x)$ 的图象的对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{10} ， \frac{π}{2})$ 上有且只有一个极大值点，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{33}{4}$ B、 $\frac{39}{4}$ C、 $\frac{60}{7}$ D、12

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二、多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）

9. 在 $△ A B C$ 中，下列命题正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$ B、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ D、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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10. 已知直线l： $x + 2 m y + 1 = 0$ ，圆E： $x^{2} + y^{2} = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l必过点 $(1 ， 0)$ B、直线l与圆E必相交 C、圆心E到直线l的距离的最大值为1 D、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，直线l被圆E截得的弦长为 $\sqrt{14}$

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11. 如图，平面四边形ABCD中， $△ B C D$ 是等边三角形， $A B ⊥ B D$ 且 $A B = B D = 2$ ， M是AD的中点．沿BL将 $△ B C D$ 翻折，折成三棱锥 $C - A B D$ ，翻折过程中下列结论正确的是（）

A、当平面 $A B D ⊥$ 平面BDC时，三棱锥 $C - A B D$ 的外接球的表面积是 $\frac{28 π}{3}$ B、棱CD上存在一点N，使得 $M N ∥$ 平面ABC C、存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 D、三棱锥 $C - A B D$ 的体积最大时，二面角 $C - A D - B$ 的正切值为 $\sqrt{6}$

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} = p$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， p为非零常数），则称 ${a_{n}}$ 为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A、 ${{(- 3)}^{n}}$ 是等方差数列 B、若正项等方差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4}$ 是等比数列，则 $a_{n} = \sqrt{n}$ C、等比数列不可能为等方差数列 D、存在数列 ${a_{n}}$ 既是等差数列，又是等方差数列

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三、填空题（本大题共4小题，共20分．）

13. 当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，幂函数 $y = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} - m - 3}$ 为减的数，则 $m =$ ．

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14. 如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆锥底面圆的半径等于．

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15. 已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c = 2 b$ ， $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (x + 4) e^{x}$ ， $g (x) = x l n (2 x) + 4 x$ ．若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = a (a > 2)$ ，则 $x_{1} x_{2} + 4 x_{2} - 4 l n a$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $2 x - y - 7 = 0$ ， $l_{2}$ ：ax+y-a=0，且直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直．

(1)、求a的值：

(2)、若直线l过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点P，且原点到该直线的距离为3，求直线l的方程．

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18. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 1)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} c o s x ， - 2)$ ，函数 $f (x) = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot \vec{m}$ ．

(1)、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，求 $c o s 2 x$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $f (A) = \frac{1}{2}$ ，求 $t a n B$ 的取值范围．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $P B = P C = 2$ ， $C D = A D = 1$ ， E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面PAB；

(2)、若直线PC与平面CEMN的所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $\frac{P M}{M A}$ 的值．

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20. 某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验．

(1)、为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：

甲
乙
总和
合格

不合格

总和
15
15
30
现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联；

(2)、将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为 $\frac{3}{5}$ ，来自乙生产的概率为 $\frac{2}{5}$ ），求这袋产品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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21. 已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， _▲_．
给出以下条件：① $\frac{1}{a_{5}}$ 是 $\frac{1}{S_{2}}$ 与 $\frac{1}{S_{5}}$ 的等差中项：② $S_{2}$ ， $a_{6}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列：③ $a_{2}$ ， $a_{3} + 2$ ， $a_{6} + 4$ 成等比数列，从中任选一个，先指出，再解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 是以2为首项，2为公比的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

(3)、若 $n \in N^{*}$ ， $λ (T_{n} + 2^{n + 2} - 4) \geq 8 S_{n} - 26 a_{n}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 若对实数 $x_{0}$ ，函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $F (x) = {\begin{cases} f (x) ， x < x_{0} \\ g (x) ， x \geq x_{0} \end{cases}$ 为“平滑函数”， $x_{0}$ 为该函数的“平滑点”
已知 $f (x) = a x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ ， $g (x) = b x l n x$ ．

(1)、若1是平滑函数 $F (x)$ 的“平滑点”，
①求实数a，b的值；
②若过点 $P (2 ， t)$ 可作三条不同的直线与函数 $y = F (x)$ 的图象相切，求实数t的取值范围；

(2)、判断是否存在 $a > 1$ ，使得对任意 $b > 0$ ，函数 $F (x)$ 存在正的“平滑点”，并说明理由．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	甲	乙	总和
合格
不合格
总和	15	15	30