广东省汕头市潮阳重点中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 > 0}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | x \leq - 2 或 x > 3}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (- 1)$ 的值为（）

A、3 B、 $- 1$ C、1 D、以上都不对

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3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = l o g_{\frac{1}{3}} x$ D、 $y = - 2 x$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $4^{x} \cdot 4^{y} = 4^{x y}$ B、 $7^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{7^{3}}}$ C、 $l n (x + y) = l n x \cdot l n y$ D、 $l o g_{3} 2 + l o g_{2} 3 = 1$

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5. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出的先秦时期的青铜器，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为 $h$ ，注水时间为 $t$ ，则下面选项中最符合 $h$ 关于 $t$ 的函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 9^{\frac{1}{5}}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{9}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 1 ， x < a \\ x^{2} - 2 a x + 1 ， x \geq a \end{array}$ ，当 $f (x)$ 为增函数时，实数 $a$ 的值可能是（）

A、2 B、 $- 1$ C、0 D、1

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8. 已知长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形，如果该长方形的面积与边长为 $k_{1}$ 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为 $k_{2}$ 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为 $k_{3}$ 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为 $k_{4}$ 的正方形面积和周长的比相等，那么 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 、 $k_{4}$ 大小关系为（）

A、 $k_{1} \leq k_{4} \leq k_{2} \leq k_{3}$ B、 $k_{3} \leq k_{1} \leq k_{2} \leq k_{4}$ C、 $k_{4} \leq k_{1} \leq k_{3} \leq k_{2}$ D、 $k_{4} \leq k_{1} \leq k_{2} \leq k_{3}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每题四个选项中至少有二个正确答案，漏选得2分，错选和没选得0分，全对得5分，共20分）

9. 下列说法正确的是（）

A、不等式 $\frac{x + 2}{2 x + 1} > 1$ 的解集 ${x | - \frac{1}{2} < x < 1}$ B、“ $a b > 1$ ”是“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”成立的充分不必要条件 C、命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \leq 0$ D、函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ 与 $g (t) = | t |$ 不是同一函数

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10. 若 $x \geq y$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $2^{x} \geq 2^{y}$ B、 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ C、 $x^{2} \geq y^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$

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11. 命题 $p$ ：“ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 a x - 4 > 0$ ”的否定为真命题的一个充分条件是（）

A、 $- 4 \leq a \leq 0$ B、 $- 3 \leq a \leq 0$ C、 $- 5 < a < 0$ D、 $- 5 < a \leq 1$

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12. 对任意两个实数 $a$ ， $b$ ，定义 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b ， \\ b ， a > b ， \end{array}$ 若 $f (x) = 2 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列关于函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、 $F (0) = 0$ C、函数 $F (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上单调递增 D、函数 $F (x)$ 最大值为1

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三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 已知 $1 < a < 3$ ， $- 2 < b < 1$ ，则 $a + 2 b$ 的取值范围是．

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14. 已知集合M={x|x²=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为．

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15. 已知函数 $y = a^{x - 1}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在一次函数 $y = m x + n$ 的图象上，其中 $m$ ， $n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $m f (m) - (2 m - 1) f (2 m - 1) > 0$ 的解集为．

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四、解答题（本大题共6小题，要求在答题卷上对应答题区域中写出详细的解答过程，其中17题满分10分，18—22题每题12分，共70分）

17. 已知函数 $f (x)$ ．

(1)、若 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x$ ，求 $f (2)$ 及 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 9) x^{m - 1} (m \in R)$ 是在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的幂函数，求 $f (x)$ 的解析式．

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18.

(1)、计算 $\sqrt[3]{(- 4)^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + 0.2 5^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{- 4}$ ；

(2)、计算 $l o g_{3} 27 + l g 25 - 7^{l o g_{7} 3} + l g 4 - l o g_{3} 2 \cdot l o g_{4} 3$ ．

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与 $g (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象关于直线 $y = x$ 对称，且 $g (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{9} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (3 x - 1) > g (- x + 5)$ 成立，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $g (x + 2) < m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = l n \frac{1 - x}{x + 1}$ ，记集合 $A$ 为 $f (x)$ 的定义域， $B = {x | | x - 1 | < 1}$ ．

(1)、化简集合 $A$ ， $B$ ，并求 $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、当 $x \in B$ ，求函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x}$ 的值域．

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21. 某公司为了研究年宣传费 $x$ （单位：千元）对销售量 $y$ （单位：吨）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，搜集了近8年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，8）的数据：
$i$
1
2
3
4
5
6
7
8
$x$
38
40
44
46
48
50
52
56
$y$
45
55
61
63
65
66
67
68

(1)、请补齐以下表格组数据的散点图，并判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + d \sqrt{x}$ 中哪一个更适合作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的函数解析式？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、若（1）中的 $a = 7$ ， $b = 1.2$ ， $c = 4.2$ ， $d = 0.07$ ，且产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = 200 y - x (32 \leq x \leq 64)$ ，为使年利润值最大，投入的年宣传费 $x$ 应为何值？

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a 2^{- x}$ 奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的单调性并用定义证明；

(3)、设 $F (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 f (x)$ ，求 $F (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值．

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$i$	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$	38	40	44	46	48	50	52	56
$y$	45	55	61	63	65	66	67	68