广东省汕头市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z²＋ $(\bar{z})^{2}$ 的虚部为（）

A、0 B、－1 C、1 D、－2

查看试题解析
2. 直线 $x = \sqrt{3} y - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
3. 已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是（）

A、(1，1，1) B、（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ） C、（ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ） D、（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ）

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{1 + 9 x^{2}} - 3 x) + 1 ， . 则 f (l g 2) + f (l g \frac{1}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

查看试题解析
5. 把函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域是（）

A、[-1，1] B、[-1，2] C、[1，2] D、 $[- 2 ， 2]$

查看试题解析
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
7. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—PAC的体积比为（）

A、1∶2 B、1∶8 C、1∶6 D、1∶3

查看试题解析
8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 左顶点为A，上下顶点为C，D， $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 在椭圆上（P在第一象限，Q在第四象限），O为坐标原点，记 $S_{△ O P Q} ， S_{△ O C P} ， S_{△ O A Q} ， S_{△ O D Q}$ 分别表示 $△ O P Q ， △ O C P ， △ O A Q ， △ O D Q$ 的面积，且 $S_{△ O P Q} = 1$ ，下列说法：① $\frac{y_{1}}{x_{2}} 为定值$ ；② $C P / / A Q ；$ ③ $S_{△ O C P} = S_{△ O A Q}$ ；④ $S_{△ O C P} + S_{△ O D Q}$ 为定值.正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D .②③④

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答对得5分，部分对得2分，答错得0分）

9. 事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.4， $P (\bar{B}) = 0.7$ ，下列结论正确的是（）

A、P(AB)＝0.12 B、 $P (\bar{A} B) = 0.18$ C、 $P (A \bar{B}) = 0.72$ D、P（）＝0.42.

查看试题解析
10. 已知F₁ ， F₂分别是双曲线C：x²－y²＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是（）

A、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ B、△PF₁F₂的面积为1 C、F₁到双曲线的一条渐近线的距离为2 D、以F₁F₂为直径的圆的方程为x²＋y²＝1

查看试题解析
11. 已知实数x，y满足方程x²＋y²－4x＋1＝0，则下列说法正确的是（）

A、y－x的最大值为－2 B、x²＋y²的最大值为7＋4 C、的最大值为 D、x＋y的最大值为2＋

查看试题解析
12. 在三棱锥P-ABC中， $P A = P B = P C = A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，点M、N分别为PB，AC的中点， $W$ 是线段PA上的动点，则（）

A、平面 $P A C ⊥$ 平面ABC B、 $△ W M N$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{24}$ C、平面 $W M N$ 截该三棱锥所得截面不可能为菱形 D、若三棱锥P-ABC可以在正方体内任意转动，则此正方体体积的最小值为 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则数列{a_n}的通项公式a_n=.

查看试题解析
14. 抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线交抛物线C于A、B两点，则|AB|=.

查看试题解析
15. 已知P是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点，平面上两个定点M（4，0）， $N (4 ， 4)$ ，则 $P N + \frac{1}{2} P M$ 的最小值为

查看试题解析
16. 斜率为1的直线与双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于两点A、B，C是E上一点，满足 $A C ⊥ B C$ ， $△ O A C ， △ O B C$ 的重心分别为P，Q， $△ A B C$ 的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，若 $k_{1} • k_{2} • k_{3} = - 8$ ，则双曲线的离心率为

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共60分）

17. 已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ， a₁＝3，令b_n＝ $\frac{1}{a_{n} - 1}$ .

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、求数列{a_n}的通项公式．

查看试题解析
18. 在△ABC中，c＝2bcos B，C＝ $\frac{2 π}{3}$ .

(1)、求B；

(2)、再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求BC边上中线的长．
条件①：△ABC的周长为4＋2；条件②：△ABC的面积为 .

查看试题解析
19.

(1)、在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程；

(2)、在平面直角坐标系中，已知点F(0，2)，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程

查看试题解析
20. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点 $E$ 在 $C C_{1}^{}$ 上且 $C_{1}^{} E = 3 E C$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、求锐二面角 $A_{1} - D E - B$ 的余弦值．

查看试题解析
21. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点A(2，1)，离心率为，左、右焦点分别为F₁(－c，0)，F₂(c，0)．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线l： $y = k x + 1$ 与椭圆交于A，B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C，D两点，且满足＝ $\frac{8 \sqrt{5}}{15}$ ，求直线l的方程．

查看试题解析
22. 已知G是圆T： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设P是曲线C上任一点，延长OP至Q，使 $\vec{O Q} = 3 \vec{O P}$ ，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线 $l$ 交曲线E于A，B两点，求 $△ A B Q$ 面积的最大值。

(3)、M，N是曲线C上两个动点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为 $k_{1} ， . k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{2}{3}$ ，则 $△ M O N$ 的面积为定值，求出此定值（直接写出结论，不要求写证明过程）

查看试题解析