湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共计36分）

1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将一元二次方程 $4 x (x + 2) = 25$ 化成一般形式，则它的一次项系数是（）

A、4 B、6 C、8 D、25

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3. 二次函数 $y = - 2 x^{2}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中，点 $(a - 3 ， 4)$ 关于原点的对称点为 $(5 ， - b)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、8 C、6 D、 $- 12$

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5. 如图，正方形ABCD和 $⊙ O$ 的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为 $S c m^{2}$ ，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x ， S与x满足的函数关系分别是（）

A、二次函数关系，二次函数关系 B、二次函数关系，一次函数关系 C、一次函数关系，一次函数关系 D、一次函数关系，二次函数关系

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6. 若二次函数 $y = □ {(x + 1)}^{2} - 6$ 有最大值，则“□”中可填的数是（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 2$

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7. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{1}{3}$ B、 $k \leq \frac{1}{3}$ C、 $k < \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \leq \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$

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8. 将含有 $30 °$ 角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转，当点B恰好落在y轴的负半轴上时停止．若 $O A = 4$ ，则点A的对应点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 \sqrt{3} ， - 2)$ C、 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 ， - 2 \sqrt{3})$

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9. 将一元二次方程 $2 y^{2} - 2 = 4 y$ 化成 ${(y - m)}^{2} = n$ 的形式，则 ${(m - n)}^{2023} =$ （）

A、1 B、 $- 2023$ C、2023 D、 $- 1$

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10. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程 $x^{2} + 5 x - 14 = 0$ ，即 $x (x + 5) = 14$ 为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图所示正方形，其中大正方形的面积是 ${(x + x + 5)}^{2}$ ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2}$ ，因此 $x = 2$ ．小明用此方法解关于x的方程 $x^{2} + m x - n = 0$ 时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（）

A、 $m = 2$ ， $n = 3$ B、 $m = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ， $n = 2$ C、 $m = \frac{5}{2}$ ， $n = 2$ D、 $m = 2$ ， $n = \frac{5}{2}$

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11. 如图，在方格纸中，将 $Rt △ A O B$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转90°后得到 $Rt △ A^{'} O^{'} B$ ，则下列四个图形中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，对称轴为直线 $x = 1$ ．直线 $y = - x + c$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交于C ， D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
① $a - b + c < 0$ ；
② $2 a + b + c > 0$ ；
③ $x (a x + b) \leq a + b$ ；
④ $a < - 1$ ．
其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（每小题3分，共计12分）

13. 如果2是一元二次方程 $x^{2} - c = 0$ 的一个根，则 $c =$ ，它的另一个根是．

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14. 将抛物线 $y = x^{2}$ 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是．

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15. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．

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16. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 4$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D ，点E为线段AD上的动点，连接CE ，以CE为边在下方作等边 $△ C E F$ ，连接DF ，则线段DF的最小值为．

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三、解答题（共计72分）

17. 如图二次函数 $y = a x^{2} + b x + \frac{3}{2}$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ，请回答下列问题：

(1)、方程 $a x^{2} + b x = - \frac{3}{2}$ 的根是；

(2)、若方程 $a x^{2} + b x = - \frac{3}{2} + m$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是；

(3)、若直线BC的解析式为 $y = k x + n$ ，则 $k x + n \geq a x^{2} + b x + \frac{3}{2}$ 的解集为；

(4)、当y有最大值 $\frac{3}{2}$ 时，x的取值范围是．

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18. 解方程： $x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$ ．
解：设 $x^{2} = m$ ，则原方程变为： $m^{2} - 3 m + 2 = 0$ ，解得， $m_{1} = 1$ ， $m_{2} = 2$ ．
当 $m = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ，解得 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ；
当 $m = 2$ 时， $x^{2} = 2$ ，解得 $x_{3} = \sqrt{2}$ ， $x_{4} = - \sqrt{2}$ ；
∴原方程的解为： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = \sqrt{2}$ ， $x_{4} = - \sqrt{2}$ ．
上面解方程的方法简称换元法．
请利用上述方法，解方程：

(1)、 ${(x + 2)}^{2} - 7 (x + 2) + 12 = 0$ ；

(2)、 ${(\frac{x}{x - 1})}^{2} + \frac{6 x}{x - 1} + 8 = 0$ ．

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19. 用18m长的篱笆（虚线部分）围成两面靠墙的矩形苗圃．其中一面墙长8m，另一面墙的使用不受限制．

(1)、设矩形的长BE为xm，矩形的面积为 $y m^{2}$ ，求y与x的函数关系式；

(2)、x为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

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20. 已知，在矩形ABCD中，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转 $90 °$ 得到DF ，过F作 $F G ⊥ C D$ 于点G ，连接EF ，取EF的中点H ，连接DH ， AH ．

(1)、证明： $A E = G F$ ；

(2)、当点H与点G重合时，探究线段AH与DE的关系．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 有实数根．

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = k$ ．求k的值．

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22. 如图1，O为正方形ABCD对角线的交点，点E ， F在正方形边BC ， CD上， $B E = C F$ ，连接OE ， OF ， EF ．

(1)、求证： $∠ E O F = 90 °$ ；

(2)、如图2，若M为CD的中点，N为BC的中点，MN与EF交于点K ，请探究点K是否平分EF ，说明理由．

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23. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy ，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．

(1)、第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
$⋯$
竖直高度y/m
2.0
3.0
3.6
3.8
3.6
$⋯$
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据和所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是 m，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；

(2)、第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 $y = a {(x - 3)}^{2} + 4.25$ ，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d5（填“>”，“=”或“<”）．

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24. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， B两点，P为抛物线上的动点．已知点 $D (0 ， 1)$ ．

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、 $△ P C D$ 能否成为等边三角形，请说明理由；

(3)、若 $S_{△ P D B} = S_{△ C B D}$ ，求点P的坐标．

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水平距离x/m	0	1	2	3	4	$⋯$
竖直高度y/m	2.0	3.0	3.6	3.8	3.6	$⋯$