（人教版）2023-2024学年九年级上学期数学 21.2 解一元二次方程期末复习(吉林地区专用)

试卷更新日期：2023-12-20 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 把方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 转化成 $(x + m)^{2} = n$ 的形式，则m ， n的值是（）

A、 $2$ ， $2$ B、 $2$ ， $- 2$ C、 $- 2$ ， $2$ D、 $- 2$ ， $- 2$

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2. 若关于x的一元二次方程x²+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）²＝2c，则c的值为（　　）

A、﹣3 B、0 C、3 D、9

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ B、 $k \geq - 1$ C、 $k > - 1$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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5. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则此直角三角形斜边长是（）

A、13 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 方程x²﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）

A、12 B、12或15 C、15 D、不能确定

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7. 若a ， b是方程 $x^{2} + 2 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 3 a + b$ 的值是（）．

A、2021 B、2022 C、2023 D、2024

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二、填空题

8. 方程 $(x + 1)^{2} = 4$ 的根是．

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9. 如果关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．

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10. 已知关于x的一元二次方程（m-1）x²+2mx+m-5=0有实数根，则m的取值范围是

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11. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的根，则该三角形的第三边的长为．

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12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 4 = 0$ 的两实根，则 $(x_{1} + 4) (x_{2} + 4)$ 的值是．

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13. 已知x₁ ， x₂是一元二次方程x²﹣2x﹣1=0的两根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ =

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三、解答题

14. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 $x^{2} － 6 x ＋ □ = 0$ ．

(1)、若“□”表示常数－7，请你用配方法解方程： $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ ；

(2)、若“□”表示一个字母，且一元二次方程 $x^{2} － 6 x ＋ □ = 0$ 有实数根，求“□”的最大值．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ .

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、是否存在 $m$ 的值使得 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 0$ 成立?若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由

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16. 已知关于x的一元二次方程方程 $m x^{2} - (m - 1) x + 1 = 0$ （m为常数），如果方程根的判别式的值为1，请求出m的值以及方程的根．

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17. 已知关于x的方程 $k^{2} x^{2} - 2 (k + 1) x + 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求k的取值范围．

(2)、若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．

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18. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．

(1)、若满足 $a - b + c = 0$ ，则方程必有一个根为．

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\sqrt{a - 1} + | b - 2 | + (c + 3)^{2} = 0$ 求一元二次方程的根．

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19. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数的图象交于第一象限 $C (1 ， 4) ， D (4 ， m)$ 两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD，（O是坐标原点）

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、当 $a x + b < \frac{k}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

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20.

(1)、解一元二次方程： $5 x^{2} - 3 x = x + 1$ ；

(2)、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
①求k的取值范围；
②若（填序号），求k的值．
请同学们从① $x_{1} \cdot x_{2} = 2$ ；② $x_{1} + x_{2} = 3$ ；③ $x_{1} - x_{2} = 1$ 中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．

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21. 关于x的一元二次方程x²-2mx+m²+m-3=0有实数根．

(1)、求m的范围；

(2)、如果方程两根分别为α，β，若αβ=17，求m的值

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22. 如图所示，点B在 $△ A O C$ 的边 $O C$ 上（点B不与点O ， C重合），连接 $A B$ ，设 $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ ．已知 $∠ O B A = ∠ O A C$ ．

(1)、①若 $a = 6$ ， $b = 2$ ，则c=；
②若 $A B ： A C = 1 ： 4$ ，则 $\frac{O A}{B C}$ =；

(2)、求证：关于x的方程 $x^{2} + (b + c) x + a^{2} = 0$ 必有两个不相等的实数根．

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23. 在直角坐标系中，设函数y＝ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0）．

(1)、已知a＝1．
①若函数的图象经过（0，3）和（﹣1，0）两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．

(2)、若b=a+1 ，（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）是该函数图象上的两个不同点，对于任意x₁_、x₂_，当x₁＞x₂≥﹣3时，恒有y₁＞y₂ ，试求a的取值范围．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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