（人教版）2023-2024学年九年级上学期数学 21.1 一元二次方程期末复习(吉林地区专用)

试卷更新日期：2023-12-20 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若x= 1是一元二次方程x²-mx+1=0的一个根，则m的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、0

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2. 若x=-2是一元二次方程x²+mx+2= 0的一个根，则m的值是（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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3. 如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（）

A、（35-x）（20-2x）=600． B、35×20-35x-20x+2x²=600． C、（35-2x）（20-x）=600． D、35x+2×20x-2x²=600．

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4. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A、2x+1=0 B、x²+1=0 C、y²+x=1 D、 $\frac{1}{x}$ +x²=1

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5. 如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax²+bx=6的根是（）
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
ax²+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 12 ……

A、 $x_{1} = - 2 ， x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 2 ， x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 2 ， x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 2 ， x_{2} = 3$

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6. 广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（）

A、1+x+x²＝25 B、x+x²＝25 C、（1+x）²＝25 D、x+x（1+x）＝25

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7. 方程x²=-2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、1，-2，8 B、-1，2，8 C、1，2，-8 D、1，2，8

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8. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x + 2 = 0$ 有一个根为 $- 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $- 3$ D、 $- 1$

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二、填空题

9. 若x=2是关于x的方程x²+x+m-5=0的一个根，则m=。

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10. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为．

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11. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x²-10x+21=0的根，则该三角形的第三边的长为

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12. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+a²-1=0有一个根为0，则a=

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13. 一元二次方程x²-1=0的两根分别为。

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14. 若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的一个根是m，则 $4 m^{2} + 6 m - 2021$ 的值为．

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三、解答题

15. 若关于x的方程 $(m + 1) x^{| m | + 1} + x - 3 = 0$ 是一元二次方程，求m的值．

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16. 已知2是关于x的方程：x²﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是多少？

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17. 已知方程：（m²﹣1）x²+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．

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18. 完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x²+mx+2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y= $\sqrt{2 x - 5} + \sqrt{5 - 2 x}$ ﹣3，求2xy的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $(a + b) x^{2} - 2 c x + (a - b) = 0$ ，其中a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 三边的长.

(1)、如果 $x = 1$ 是方程的一个根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ A B C$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

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20. 先化简，再求值： $\frac{a - 2}{a^{2} + 2 a + 1} \div (a - 1 - \frac{2 a - 1}{a + 1})$ ，其中a是方程x²+x﹣3=0的解.

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21. 已知 $a$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的解，求代数式 $\frac{a - 3}{a^{2} - 2 a} \div (\frac{5}{a - 2} - a - 2)$ 的值.

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22. 关于x的一元二次方程（m+1）x²+5x+m²+3m+2=0的常数项为0，求m的值．

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23. 阅读理解题：
问题：已知方程x²+x﹣1=0，求一个一元二次方程使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x
从而x= $\frac{y}{2}$
把x= $\frac{y}{2}$ 代入已知方程，得：（ $\frac{y}{2}$ ）²+ $\frac{y}{2} - 1 = 0$
整理，得：y²+2y﹣4=0
因此，所求方程为：y²+2y﹣4=0
请你用上述思路解决下列问题：
已知方程x²+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．

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24. 阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a ， b ， c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x₁＝ $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，x₂＝ $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．若 $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ 是一个无理数，则x₁ ， x₂也都是无理数，我们把x₁和x₂这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．

例如：一元二次方程x²-3x+1＝0的两根为 $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ，x₂＝____，它们就是互为有理化的一对无理根．

又如：方程x²＝7的两根 $x_{1} = \sqrt{7}$ ， $x_{2} = - \sqrt{7}$ 也是互为有理化的一对无理根．

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：

①x₁和x₂是两个无理数；②x₁•x₂是一个有理数．

如： $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 是无理数，

且 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ＝____．

∴x₁ ， x₂是互为有理化的一对无理根．

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 $- \frac{b}{a}$ ，积为 $\frac{c}{a}$ ．

任务：

(1)、填空：材料中的x₂＝， x₁•x₂ ＝．

(2)、求一元二次方程x²-x-5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．

(3)、若方程x²+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为

1 + \sqrt{3}

，直接写出方程x²+px+q＝0的另一根及p ， q的值．

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x	……	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	……
ax²+bx	……	12	6	2	0	0	2	6	12	……

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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