北京市昌平区双城融合学区（第三组）02023-2024学年八年级上学期期中质量抽测数学试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1. 若分式 $\frac{3}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x $\neq 0$ D、 $x \neq 1$

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2. -8的立方根是（）

A、-2 B、2 C、±2 D、4

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3. 若把分式 $\frac{x + y}{x y}$ 中x ， y都扩大3倍，那么分式的值（）

A、不变 B、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ C、扩大为原来的3倍 D、缩小为原来的 $\frac{1}{9}$

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4. 下列等式成立的是（）

A、 $\frac{y - x}{x - y} = - 1$ B、 $\frac{a - m}{a - n} = \frac{m}{n}$ C、 $\frac{x_{}^{8}}{x_{}^{2}} = x_{}^{4}$ D、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = x + y$

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5. 若 $\frac{2}{x - 1}$ 表示一个整数，则整数 $x$ 可取的值的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 已知杠杆平衡条件公式 $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{L_{2}}{L_{1}}$ ，其中F₁ ， F₂ ， L₁ ， L₂均不为零，用含F₁ ， F₂ ， L₂的代数式表示L₁正确的是（）

A、 $L_{1} = \frac{F_{1} F_{2}}{L_{2}}$ B、 $L_{1} = \frac{L_{2}}{F_{1} F_{2}}$ C、 $L_{1} = \frac{F_{2} L_{2}}{F_{1}}$ D、 $L_{1} = \frac{F_{1}}{F_{2} L_{2}}$

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7. 如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{17}$

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8. 若 $x_{1}^{} = a + 1$ （a不取0和－1）， $x_{2}^{} = \frac{1}{1 - x_{1}^{}}$ ， $x_{3}^{} = \frac{1}{1 - x_{2}^{}}$ ， …， $x_{n}^{} = \frac{1}{1 - x_{n - 1}^{}}$ ，则 $x_{2023}^{} =$ （）

A、 $a + 1$ B、 $\frac{a}{a + 1}$ C、 $- \frac{1}{a}$ D、 $a$

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二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9. 如果二次根式 $\sqrt{x - 8}$ 有意义，则x的取值范围是.

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10. 要使分式 $\frac{x + 2}{x - 3}$ 的值为0，则 $x$ 的值是．

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11. 计算： $\sqrt{16} =$ ； $\pm \sqrt{121} =$ .

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12. 计算： $\frac{2 x_{}^{2}}{y} \cdot \frac{y}{4 x} =$ .

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13. 计算： $(\frac{x}{3 y})_{}^{2} =$ .

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14. 已知n为整数，且 $n < \sqrt{5} < n + 1$ ，则n的值为.

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15. 如果 $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 7$ ，则 $y_{}^{x}$ 的值为.

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16. 已知实数a ， b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{b_{}^{2}} + \sqrt{(a - b)_{}^{2}} =$ .

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三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）

17. 计算： $\frac{5 y}{3 x} \div \frac{10 y}{21 x_{}^{2}}$ .

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18. 计算： $\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - a}$ .

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19. 计算： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}$ ．

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20. 计算： ${(\frac{a - b}{b})}^{2} \cdot \frac{b}{a^{2} - b^{2}}$ .

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21. 计算： $\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \div (1 - \frac{1}{x + 2})$ .

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22. 如果 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，求代数式 $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的值.

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23. 解方程： $\frac{3}{x - 1} = \frac{1}{x + 1}$ .

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24. 解方程： $\frac{6}{x - 1} - \frac{x + 5}{x^{2} - x} = 0$ .

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25. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和” $.$ 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价是多少万元？

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26. 已知 $3 a + 1$ 的平方根是 $\pm 4$ ， $2 a + b - 5$ 的算术平方根是 $3$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、求 $5 b + a + 2$ 的立方根.

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27. 阅读理解，并回答问题.
阅读材料1：
$∵ 4 < 5 < 9$ ， $∴ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ .
$∴ \sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$ ，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ .
阅读材料2：
对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若 $a - b > 0$ ，则 $a > b$ ；若 $a - b = 0$ ，则 $a = b$ ；若 $a - b < 0$ ，则 $a < b$ .我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法.
例如：比较 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小时，可以计算 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$ ，得 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ ，
∵ $\sqrt{2} - 1$ ＞0，∴ $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ ＞0.∴ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ＞ $\frac{1}{2}$ .

(1)、请表示出 $\sqrt{19}$ 的整数部分和小数部分；

(2)、试判断 $\frac{\sqrt{19} - 4}{5}$ 与 $\frac{1}{5}$ 的大小，并说明理由.

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28. 在分式 $\frac{N}{M}$ 中，若 $M$ ， $N$ 为整式，分母 $M$ 的次数为 $a$ ，分子 $N$ 的次数为 $b$ (当 $N$ 为常数时， $b = 0$ )，则称分式 $\frac{N}{M}$ 为 $a - b$ 次分式．例如， $\frac{1}{x^{4}}$ ， $\frac{x + 1}{x^{5} - 2 x}$ ， $\frac{x^{3}}{x^{7}}$ 均为四次分式.

(1)、在下列分式 $\frac{1}{x^{3}}$ ， $\frac{x + 1}{x^{4}}$ ， $\frac{4 x^{2}}{x^{3} - 2}$ 中，是字母 $x$ 的三次分式的有；

(2)、已知， $A = \frac{m x + 2}{x - 3}$ ， $B = \frac{n x + 3}{x^{2} - 9}$ (其中 $m$ ， $n$ 为常数).
①若 $m = 0$ ， $n = - 4$ ，则 $A + B$ ， $A \cdot B$ ， $A^{2}$ 中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若 $A$ 与 $B$ 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 $3 m - n$ 的值.

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