北京市大兴区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（共16分，每题2分）

1. 若方程 $(a - 3) x^{2} - x + 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）

A、 $a \neq 3$ B、 $a > 3$ C、 $a \geq 3$ D、 $a < - 3$

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2. 小方用两块相同的含 $3 0^{∘}$ 角的直角三角板拼成如下平面图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 抛物线 $y = - (x - 4)^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(- 4 ， 2)$ C、 $(4 ， - 2)$ D、 $(- 4 ， - 2)$

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4. 如图，以点O为中心，把 $△ A O B$ 逆时针旋转 $7 0^{∘}$ ，得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 4 0^{∘}$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 0^{∘}$ C、 $7 0^{∘}$ D、 $11 0^{∘}$

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5. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 时，可配方得（）

A、 $(x - 1)^{2} = 2$ B、 $(x - 1)^{2} = 4$ C、 $(x - 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 1$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得的抛物线为（）

A、 $y = (x - 2)^{2} - 1$ B、 $y = (x - 2)^{2} + 3$ C、 $y = x^{2} + 3$ D、 $y = x^{2} - 1$

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7. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 过 $A (1 ， 2)$ ， $B (5 ， 2)$ 两个点，则抛物线的对称轴是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 2$ C、 $x = 3$ D、 $x = 4$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = 1$ ．给出下面三个结论：
① $2 a + b = 0$ ；
②关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有一个根大于3；
③对于任意实数m ， $a m^{2} + b m \leq a + b$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题（共16分，每题2分）

9. 点 $(2 ， - 5)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 2 k = 0$ 的一个根是1，则k的值是．

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11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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12. 请你写出一个开口向上且经点 $(0 ， 1)$ 的抛物线的解析式．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ，以点B为中心，把线段 $B A$ 顺时针旋转 $9 0^{∘}$ 得到线段 $B C$ ，则点C的坐标为．

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14. 小华利用网络平台帮助家乡人民销售农产品.8月份销售额为12000元，10月份销售额为14520元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为．

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15. 已知点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (- 4 ， y_{3})$ 在抛物线 $y = 2 x^{2} + 8 x - 1$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（用“ $<$ ”连接）．

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16. 为了弘扬校园文化，劳技课上，老师组织同学们一起制作校园吉祥物“校服熊”．它的制作共需A，B，C，D，E，F，G，H，I九道工序，加工要求如下：
①工序A必须是第一道工序，工序1必须是最后一道工序，工序A，I不能与其他工序同时进行；
②工序D，E需在工序B完成后进行，工序F需在工序C，D都完成后进行，工序G，H需在工序F完成后进行；
③一道工序只能由一名同学完成，此工序完成后该同学才能进行其他工序；
④各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
所需时间/分钟
10
14
13
3
4
6
2
2
3
在不考虑其他因素的情况下，若由一名同学单独完成一个“校服熊”的加工，则需要分钟；若由两名同学合作完成一个“校服熊”的加工，则最少需要分钟．

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三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 4 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ ．

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18. 解不等式组：
${\begin{array}{l} 2 x - 3 ⩽ x + 2 ， \\ \frac{2 x + 3}{2} - 1 > \frac{5}{2} - x . \end{array}$

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19. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C$ ， D是 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D$ ， $C D$ ，以点A为中心，把线段 $A D$ 顺时针旋转 $9 0^{∘}$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $∠ A E B = ∠ A D C$ ；

(2)、连接 $D E$ ，若 $∠ A D C = 12 5^{∘}$ ，求 $∠ B E D$ 的度数．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ ．

(1)、求证：不论k取任何实数，该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一个根小于2，求k的取值范围

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 中的x ， y满足下表：
$x$
$⋯$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
$⋯$
$y$
$⋯$
$- 5$
0
3
4
3
m
$⋯$

(1)、直接写出m的值；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、当 $y < 3$ 时，直接写出x的取值范围．

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、求函数图象的顶点坐标；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出这个二次函数的图象（不用列表）；

(3)、当 $1 < x < 4$ 时，直接写出y的取值范围．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ ．

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以原点O为中心，把 $△ A B C$ 逆时针旋转 $9 0^{∘}$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与函数 $y = x$ 的图象平行，且经过点 $A (2 ， 0)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x < 3$ 时，对于x的每一个值，函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出m的取值范围．

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25. 中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ ．

(1)、若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米．
①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式；
②这次所发的球能否过网 ▲ （填“能”或“否”）．

(2)、若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 $y = - \frac{1}{50} (x - 4)^{2} + 2.88$ ，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m ， y_{1})$ ， $B (m + 2 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、若 $y_{1} = y_{3}$ ，用含m的式子表示t；

(2)、若对于任意 $2 < m < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ 成立，求t的取值范围．

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27. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D为边 $B C$ 上的一动点，以点D为中心，把线段 $D A$ 顺时针旋转 $6 0^{∘}$ ，得到线段 $D F$ ，过点F作 $F E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点E ，连接 $C F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、用等式表示线段 $B D$ ， $C F$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、若点M是线段 $C F$ 的中点，连接 $A E$ ， $B M$ ，线段 $A E$ 与 $B M$ 交于点O ，求 $∠ A O B$ 的度数．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P (a ， b) (b = 0)$ ，给出如下定义：当 $a ⩾ b$ 时， $k = | \frac{b}{a} |$ ；当 $a < b$ 时 $k = | \frac{a}{b} |$ ， k叫做点P的“斜值”．

(1)、直接写出点 $P (- 3 ， \sqrt{3})$ 的“斜值”k的值；

(2)、若点 $P (a ， b)$ 的“斜值” $k = \frac{1}{2}$ ，且 $b - a = 2$ ，求点P的坐标；

(3)、如图，正方形 $A B C D$ 中， $A (m ， 1)$ ， $B (m ， - 1)$ ， $C (m + 2 ， - 1)$ ，若正方形 $A B C D$ 的边上存在两个点的“斜值”为 $\frac{1}{2}$ ，直接写出m的取值范围．

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工序	A	B	C	D	E	F	G	H	I
所需时间/分钟	10	14	13	3	4	6	2	2	3

$x$	$⋯$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	$⋯$
$y$	$⋯$	$- 5$	0	3	4	3	m	$⋯$