安徽省黄山市休宁县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列一元二次方程没有实数根的是（）

A、 $x^{2} + x + 2 = 0$ B、 $x^{2} - 1 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x - 6 = 0$ 的一个根是2，则此方程的另一根和k的值分别是（）

A、3和2 B、3和－2 C、－3和2 D、－3和－2

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4. 已知抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ ，下列说法错误的是（）

A、开口方向向下 B、形状与 $y = x^{2}$ 相同 C、顶点 $(- 1 ， 4)$ D、对称轴是直线 $x = 1$

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5. 将抛物线y＝2x²平移，得到抛物线y＝2（x+4）²+1，下列平移正确的是（）

A、先向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B、先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C、先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D、先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3.6$ ， $∠ B = 60 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转度得到 $△ A D E$ ，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）

A、1.6 B、1.8 C、2 D、2.6

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，自变量x与函数y之间的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
…
在该函数的图象上有 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $3 < x_{2} < 4$ ， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} \geq y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} \leq y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2}$

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8. 函数 $y = a x^{2} - 1$ 与 $y = a x (a \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，现给以下结论：① $a b c < 0$ ；② $c + 2 a < 0$ ；③ $9 a - 3 b + c = 0$ ；④ $4 a c - b^{2} > 0$ ；⑤ $a - b \geq m (a m + b)$ （m为任意实数）．其中错误结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 c m$ ， $∠ D = 60 °$ ，点P ， Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿 $A - C - D$ 的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿 $A - B - C - D$ 的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s）， $△ A P Q$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 方程 $(x + 1) (x - 2) = x + 1$ 的根是．

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12. 若点 $M (3 ， a - 2)$ ， $N (b ， a)$ 关于原点对称，则 $a + b =$ ．

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13. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点A ， B关于直线 $x = - 1$ 对称，且 $A B = 6$ ，顶点在函数 $y = 2 x$ 的图象上，则这个二次函数的表达式为．

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14. 如图，把正方形铁片 $O A B C$ 置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $P (1 ， 2)$ 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 $90 °$ ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为．

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三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解方程： $(x + 3) (x - 1) = 12$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的部分图象经过点 $A (0 ， - 3)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、该抛物线的解析式是；

(2)、结合函数图象，直接写出当 $y < 0$ 时，x的取值范围是；

(3)、将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (4 ， 3)$ 、 $B (1 ， 4)$ 、 $C (2 ， 1)$ ．
$（ 1 ）$ 将 $△ A B C$ 以原点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向上平移3个单位，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
$（ 2 ）$ 在x轴上有一点F ，使得 $F A + F B$ 的值最小，请直接写出点F的坐标．

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18. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者欢迎．我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．

(1)、求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？

(2)、按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？

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19. 如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，CE。

(1)、求证：AB= CD；

(2)、若BC=10，∠ABC=45°，连接BE，求△BCE的面积。

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20. 一家商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，每本售价44元，每天可售出300本，现商店决定提价销售，经过调查，售价每上涨1元，每天销售量减少10本，设提价后售价为x元（ $44 \leq x \leq 52$ ），每天销售量为y本．

(1)、请写出y与x之间的函数关系式；

(2)、每本足球纪念册售价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？

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21. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中 $A D \leq M N$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．

(1)、若 $a = 26$ ，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)、求矩形菜园ABCD面积的最大值．

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22. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与一直线相交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $C (2 ， 3)$ 两点，与y轴交于点N ，其顶点为D ．

(1)、求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)、若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 $△ A P C$ 的面积的最大值及此时点P的坐标．

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = A C = \sqrt{2} + 1$ ，点D，E分别在边 $A B ， A C$ 上，且 $A D = A E = 1$ ，连接 $D E$ ．现将 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0^{°} < α < 360^{°})$ ，如图2，连接 $C E ， B D ， C D$ ．

(1)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当 $α = 90 °$ 时，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，求证： $C F$ 垂直平分 $B D$ ；

(3)、在旋转过程中，求 $△ B C D$ 的面积的最大值，并写出此时旋转角 $α$ 的度数．

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x	…	0	1	2	3	…
y	…	－1	2	3	2	…