安徽省滁州市天长市铜城片2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 对于二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 3$ ，下列正确的是（）

A、有最大值 $- 3$ B、有最小值 $- 3$ C、有最大值 $- 1$ D、有最小值 $- 1$

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2. 近视眼镜的度数 $y$ （度）与镜片焦距 $x$ （m）成反比例，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，若某近视眼镜片的焦距为0.25m，则该眼镜片的度数为（）

A、100度 B、300度 C、400度 D、600度

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3. 若 $\frac{x - y}{x + y} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）。如图，点 $B$ 为 $A C$ 的黄金分割点（AB>BC），若 $A C = 100$ cm，则 $B C$ 约为（）

A、42cm B、38cm C、62cm D、70cm

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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 6$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ．过点 $A$ 且与 $x$ 轴平行的直线交抛物线 $y = 2 x^{2}$ 于 $B ， C$ 两点，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $A B$ 上一点，连接 $A C ， D E$ 交于点 $F$ ，若 $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A E F}}{S_{△ C D F}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{4}{25}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点， $B C = \sqrt{3} A B = 3 B D$ ，则 $A D ： A C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架 $A B C D$ ，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架 $A B C D$ 面积的最大值为（）

A、150 $c m^{2}$ B、 $148 c m^{2}$ C、 $135 c m^{2}$ D、 $120 c m^{2}$

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9. 如图，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于 $A ， B$ 两点， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ 。下列结论：① $O A = O B$ ；② $△ A B C$ 的面积为定值；③ $D$ 是 $A C$ 的中点；④ $S_{△ A O D} = \frac{1}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 4$ 。有一动点 $P$ 从点 $C$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $C A B$ 运动至点 $B$ 时停止．连接 $P B$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $x$ 秒， $y = P B^{2}$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 某零件长是40cm，若该零件在设计图上的长为2mm，则这幅设计图的比例尺为1：．

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12. 若抛物线 $y = a x^{2} + 3$ 与 $x$ 轴两个交点为 $(m ， 0)$ 和 $(n ， 0)$ ，当 $x = m + n$ 是 $y$ 的值为．

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13. 双曲线 $C_{1 ： y} = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 和 $C_{2 ： y} = \frac{1}{x} (x > 0)$ 如图所示， $A$ 是双曲线 $C_{1}$ 上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B$ ，交双曲线 $C_{2}$ 于点 $C$ ，连接 $O A ， O C$ ，若 $△ A O C$ 的面积为2，则 $k =$ ．

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 的边长 $A D = 3$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，点 $F$ 在 $B C$ 边上， $B F = 2 F C$ ， $A F$ 分别与 $D E ， D B$ 相交于点 $M ， N$ ．

(1)、 $∠ A F B$ 的度数是度；

(2)、线段 $M N$ 的长为．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(4 ， 3)$ ， $(2 ， - 1)$ ，求二次函数的表达式，并判断该二次函数的图象与 $x$ 轴有几个交点．

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16. 如图所示是反比例函数 $y = \frac{2 n - 4}{x}$ 的图象的一支。根据图象回答下列问题：

(1)、图象的另一支在哪个象限？常数 $n$ 的取值范围是什么？

(2)、在这个函数图象的某一支上任取两点 $A (a_{1} ， b_{1})$ ， $B (a_{2} ， b_{2})$ ，如果 $a_{1} < a_{2}$ ，试比较 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ 的大小．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 在 $14 \times 10$ 的网格中，已知 $△ A B C$ 和点 $M (1 ， 2)$ ．

(1)、以点 $M$ 为位似中心，画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使其与 $△ A B C$ 的相似比为2；

(2)、写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 各顶点的坐标．

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18. 如图，已知 $D E / / B C$ ， $E F / / C D$ ， $A F = 3 ， A D = 5 ， A E = 4$ ．

(1)、求 $C E$ 的长；

(2)、求 $A B$ 的长．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 1$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）．

(1)、求 $A ， B$ 两点的坐标；

(2)、设抛物线的顶点为 $C$ ，连接 $A C ， B C$ ，试求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ． $E ， D$ 分别在 $B C ， A C$ 上，且 $∠ A E D = 45 °$ ，若 $A B = 5$ ， $B E = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C D$ ；

(2)、求 $C D$ 的长．

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六、

21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的顶点 $B ， C$ 在 $x$ 轴上，顶点 $A ， D$ 在第一象限．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A$ 交 $C D$ 与点 $E$ ， $O B = 2 ， A B = 3$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若点 $E$ 恰好为 $D C$ 的中点．
①求直线 $A E$ 的表达式；
②请根据图象直接写出在第一象限内，当 $x$ 取何值时，反比例函数的函数值小于直线 $A E$ 对应函数的函数值．

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七、（本题满分12分）

22. 在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $A$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离底面3m．已知球门高 $O B$ 为2.44m，现以 $O$ 为原点，建立如图所示直角坐标系．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、通过计算判断球能否进球门；

(3)、若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点 $O$ 正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？

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八、（本题满分14分）

23. 如图，四边形 $A B C D$ 为边长为2的正方形，且 $E$ 是边 $B C$ 延长线上一点，过点 $B$ 作 $B F ⊥ D E$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $D G \cdot A B = D F \cdot B G$ ；

(2)、若 $G$ 是 $C D$ 的中点，求 $\frac{G F}{C E}$ 的值；

(3)、连接 $C F$ ，求 $∠ C F B$ 的度数．

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