安徽省蚌埠市G5教研联盟2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 下列函数中是反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{3}{2} x$ B、 $y = \frac{3}{2} x^{2}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = 3 x - 1$

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2. 下列两个图形不一定是相似图形的是（）

A、两个圆 B、两个正方形 C、两个等边三角形 D、两个等腰三角形

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3. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线 $A C$ 分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 于点A ， B ， C ，直线 $D F$ 分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 于点D ， E ， F ，若 $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，则 $D E ： E F$ 的值等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{8}$

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4. 如图，下列条件中不能判定 $△ A C D ∼ △ A B C$ 的是（）

A、 $∠ A D C = ∠ A C B$ B、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{C D}$ C、 $∠ A C D = ∠ B$ D、 $A C^{2} = A D \cdot A B$

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5. 若点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A B = 1 (A C > B C)$ ，则 $A C$ 等于（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 1$ 或 $3 - \sqrt{5}$

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6. 已知点 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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7. 下列函数中，当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = x^{2} - 3$ D、 $y = - \frac{8}{x}$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E是线段 $A B$ 上一点，连结 $A C$ ， $D E$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点F ，若 $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A D F}}{S_{△ A E F}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x^{2} - b x$ 与 $y = b x + a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $O$ 是坐标原点， $R t △ O A B$ 的直角顶点 $A (2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $A B = 2$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过斜边 $O B$ 的中点 $C$ ， $D$ 为该反比例函数图象上的一点，若 $D B ∥ A C$ 则下列说法错误的是（）

A、 $k = \sqrt{3}$ B、 $D (2 \sqrt{3} + 3 ， 2 - \sqrt{3})$ C、 $B D^{2} = 12$ D、 $\frac{O B^{2}}{B D^{2}} = \frac{3}{2}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ 且 $a b c \neq 0$ ，则 $\frac{a + b + c}{a - b + c} =$ .

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12. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 图象上一点，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B ，点C在y轴的负半轴上，连接 $A C$ ， $B C$ .若 $△ A B C$ 的面积为5，则m的值为.

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13. 若关于 $x$ 的函数 $y = x^{2} - 2 x + k + 1$ 的图象与x轴只有1个交点，则k的值是.

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，点E是边 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ ，沿 $A E$ 把 $△ A E B$ 折叠，得到 $△ A E F$ .

(1)、当点F恰好在矩形的边 $A D$ 上时， $B E$ 的长为；

(2)、当点F恰好在矩形边 $A D$ 的垂直平分线上时， $B E$ 的长为.

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三、解答题

15. 已知线段a ， b满足 $\frac{a}{5} = \frac{b}{12}$ ，且 $a + b = 34$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、若线段x是线段a ， b的比例中项，求x的值.

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16. 已知二次函数当 $x = 1$ 时取最小值 $- 4$ ，且抛物线图象经过点 $(0 ， - 3)$ .

(1)、求此抛物线的函数表达式；

(2)、求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标.

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17. 在 $3 \times 5$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（不写作法，保留作图痕迹）

(1)、填空： $△ A B C$ 的面积为；

(2)、请利用网格画出线段 $B C$ 的中点D；线段 $A C$ 上画一点P ，使 $A P = \frac{1}{3} A C$ .

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18. 如图1， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 20$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上的动点（点D不与点B ， C重合），且 $∠ A D E = ∠ B$ ，其中点E在边 $A C$ 上.

(1)、求证： $△ A B D ∼ △ D C E$ .

(2)、如图2，当 $D$ 运动到 $B C$ 的中点时，求线段 $C E$ 的长.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $△ A B O$ 的边 $A B$ 垂直于x轴，垂足为点B ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过 $A O$ 的中点C ，交 $A B$ 于点D.若点D的坐标为 $(- 4 ， 1)$ ，且 $A D = 3$ .

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、设点E是线段 $C D$ 上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F ，求 $△ O E F$ 面积的最大值.

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 20 c m$ ， $B C = 15 c m$ ，现有动点P从点A出发，沿 $A C$ 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿 $C B$ 向点B方向运动，如果点P的速度是 $4 c m$ /秒，点Q的速度是 $2 c m$ /秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为t秒.求：

(1)、当 $t = 3$ 秒时，这时，P ， Q两点之间的距离是多少?

(2)、当t为多少秒时，以点C ， P ， Q为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似?

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21. 为了发展特色经济，蚌埠怀远石榴已成为地方“名片”。每箱石榴的成本价为40元，售价为每箱50元，每天可卖出210件；如果每箱石榴的售价每上涨1元，则每天少卖10箱（每箱售价不能高于65元）.设每箱商品的售价上涨x元（x为正整数），每天的销售利润为y元.

(1)、求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)、每箱商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润?最大的利润是多少元?

(3)、请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于2200元?

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ， $∠ C A B = ∠ A C B$ .

(1)、过点B作 $B E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点E（如图1）.
①求证： $A C ⊥ B D$ ；
②若 $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，求 $O E$ 的长；

(2)、如图（2），若 $∠ D A B = 60 °$ ，点E ， H分别在边 $A B$ ， $B C$ 上， $D E$ 与 $A H$ 相交于点G ， $A H$ 交 $B D$ 于点F ，且 $A E = B F$ ，求证： $A B^{2} = A H \cdot D G$

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23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ， B不重合），过点D作DF垂直x轴于点F ，交直线BC于点E ，连接 $B D$ ，直线 $B C$ 能否把 $△ B D F$ 分成面积之比为 $2 ： 3$ 的两部分?若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；

(3)、若P为抛物线对称轴上一点，且使得 $| P A - P C |$ 的值最小，请直接写出点P的坐标.

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