河北省承德市兴隆县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题3分，7-16每小题2分，共38分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{3 x y}{x^{2}}$ B、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x + y}{2 x}$ D、 $\frac{1 - x}{x - 1}$

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2. 下列四个数 $\sqrt{16}$ ， $\frac{23}{7}$ ， $π$ ， $3.14$ 中，无理数是（）

A、 $\sqrt{16}$ B、 $\frac{23}{7}$ C、 $π$ D、 $3.14$

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3. 如图所示，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中的全等三角形有（）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

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4. 若 $\frac{4 - ☆}{x - 2}$ 表示的是一个最简分式，则☆可以是（）

A、2x B、x C、 $4 x - x^{2}$ D、 $x^{2}$

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5. 若分式 $\frac{x + 1}{3 x + 6}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \neq - 1$ C、 $x \neq 2$ D、 $x \neq - 2$

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6. 下列说法中，正确的是（）

A、无理数包括正无理数、零和负无理数 B、无限小数都是无理数 C、实数可以分为正实数和负实数两类 D、正实数包括正有理数和正无理数

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7. 下列运算中正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = - 2$ B、 $\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$ C、 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ D、 $(- 3)^{2} = 6$

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8. 如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与AB＝AD相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A、CB＝CD B、∠BAC＝∠DAC C、∠BCA＝∠DCA D、以上都无法判定

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9. 一个正方体的水晶砖，体积为 $100 c m^{3}$ ，它的棱长大约在（）

A、3cm与4cm之间 B、4cm与5cm之间 C、5cm与6cm之间 D、6cm与7cm之间

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10. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{a b}{b - a}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、4 D、－4

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11. 如图，已知 $△ A B C$ ，则甲、乙、丙三个三角形中和 $△ A B C$ 全等的是（）

A、只有乙 B、甲和乙 C、只有丙 D、乙和丙

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12. 如图，数轴上点A表示的数可能是（）

A、7的算术平方根 B、6的立方根 C、9的平方根 D、8的立方根

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13. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定 $△ A B D ≌ △ A C D$ 的是（）

A、 $B D = C D$ B、 $∠ B A D = ∠ C A D$ C、 $∠ B = ∠ C$ D、 $∠ B = ∠ C$ ， $∠ A D B = ∠ A D C$

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14. 如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 已知： $a = {(\frac{1}{2})}^{- 3}$ ， $b = {(- 2)}^{2}$ ， $c = {(π - 2023)}^{0}$ ，则a ， b ， c大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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16. 如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a ， b ， 4r的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r ，高为4r的圆柱体.如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $π r^{2}$ C、 $\frac{π r^{2}}{a b}$ D、 $\frac{π r^{2}}{4 a b}$

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二、填空题（本大题共3个小题，5个空，每空2分，共10分.）

17. 已知a+ $\frac{1}{a}$ =3，则a²+ $\frac{1}{a^{2}}$ 的值是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中，E在BC边上， $A D = A B$ ， $A E = A C$ ， $D E = B C$ ，若 $∠ 1 = 25 °$ ，则 $∠ D A B =$ $°$ ， $∠ 2 =$ $°$ .

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19. 如图，面积为3的正方形 $A B C D$ 的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心， $A D$ 长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则线段 $E A =$ ，点E对应的数为．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.

(1)、先化简，再求值： $(1 - \frac{3}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ .

(2)、解方程： $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

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21. 如图，在 $△ A F D$ 和 $△ C E B$ 中，点A ， E ， F ， C在同一直线上，有下面四个论断：
⑴ $A D = C B$ ；⑵ $A E = C F$ ；⑶ $∠ B = ∠ D$ ；⑷ $A D ∥ B C$ .请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一证明题，并写出证明过程.

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22. “孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和弟子颜回等到离所住驿站30里的书院讲学，弟子们步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的1.5倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里/小时.

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23. 某小区准备修建一个面积为 $75 m^{2}$ 的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为 $3 ： 1$ .
乙：花坛为正方形.

(1)、求长方形花坛的宽.

(2)、嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m.”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明.

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24. 如图，已知 $△ A B C$ .

(1)、作 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 与 $△ A C B$ 在AC的异侧，并且 $△ A C D ≌ △ A C B$ （要求：尺规作图、保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、连接BD ，交AC于O ，试说明 $O B = O D$ .

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25. 数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.

(1)、若在a克糖水里面含糖b克（ $a > b > 0$ ），则该糖水的甜度为；

(2)、现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.
请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如 $5 - 3 = 2 > 0$ 所以 $5 > 3$ ，同样如果 $m - n > 0$ ，就说明 $m > n$ ）

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26. 如图，等腰 $△ A B C$ 和等腰 $△ A C D$ 中腰为AB、AC、AD ，底角 $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A C D = ∠ A D C = 67.5 °$ ，将一块三角板中用含 $45 °$ 角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转.

(1)、当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证： $A M = A N$ ；

(2)、当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由.

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