山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 4的算术平方根是（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、-2 D、 $\pm 16$

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2. 下列各数中，是无理数的是（）

A、3.1415926 B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt[3]{- 8}$ D、 $π$

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3. 下列各点在第二象限的是（）

A、 $(- \sqrt{3} ， 0)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(2 ， - 1)$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$ D、 $\sqrt{24} \div \sqrt{6} = 4$

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5. 已知点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ 在一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、不能确定

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6. 已知 $(k ， b)$ 为第四象限内的点，则一次函数 $y = k x - b$ 的图象大致（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ 是方程 $x - m y = 3$ 的解，那么m的值（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）

A、 ${\begin{matrix} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{matrix}$

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9. 如图， $△ A B C$ 是直角三角形，点C在数轴上对应的数为-2，且 $A C = 3$ ， $A B = 1$ ，若以点C为圆心， $C B$ 为半径画弧交数轴于点M ，则A ， M两点间的距离为（）

A、0.4 B、 $\sqrt{10} - 2$ C、 $\sqrt{10} - 3$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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10.
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{15}{4}$ ．
其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11. 电影票上“8排5号”记作 $(8 ， 5)$ ，则“6排7号”记作.

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12. 比较大小： $\sqrt{31}$ 6．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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13. 在平面直角坐标系中，已知点 $M (m - 1 ， 2 m + 4)$ 在x轴上，则点M的坐标为。

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14. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 2 ， \\ 2 x + 3 y = 8 ， \end{array}$ 则 $x + y$ 的值为

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15. 如图，函数 $y = k x - 1$ 的图象过点 $(1 ， 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $k x - 1 = 2$ 的解是。

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上， $A O = A B$ ， $∠ O A B = 90 °$ ， $O B = 6$ ，点C ， D均在边 $O B$ 上，且 $∠ C A D = 45 °$ ，若 $△ A C O$ 的面积等于 $△ A B O$ 面积的三分之一，则点D的横坐标为.

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三、解答题（本大题10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 计算题

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 2$ .

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18. 解方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 4 \\ 4 x + 2 y = 10 \end{array}$ .

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19. 已知 $3 a + 2$ 的立方根是2， $3 a + b - 1$ 的算术平方根是4，c是 $\sqrt{8}$ 的整数部分.

(1)、求a、b、c的值；

(2)、求 $a + b - c$ 的平方根.

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20. “十一”期间，小华一家人开车到距家150千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为29升（假设行驶过程中汽车的耗油量均匀）.

(1)、求该车平均每千米的耗油量；

(2)、写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；

(3)、当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由.

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21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点 $△ A B C$ （顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A ， C的坐标分别为 $(- 4 ， 5)$ ， $(- 1 ， 3)$ .
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；
⑶在y轴上存在一点P ，满足点P到点A与点B距离之和最小，请直接写出 $P A + P B$ 的最小值为 ▲ .

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22. 阅读下面计算过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{5} - 2$ ；
请解决下列问题：

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 2} =$ ；

(2)、根据上面的规律，请直接写出 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；

(3)、利用上面的解法，请化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ．

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23. 第19届亚运于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：

琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100

(1)、该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？

(2)、后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给了“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？

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24. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体.

(1)、表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时）
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度y（厘米）
6
10
14
18
22
在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，并用线段连接.

(2)、请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式；

(3)、如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？

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25. 如图1，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x + 2$ 和直线 $l_{2}$ 与x轴分别相交于A ， B两点，且两直线相交于点C ，直线l与y轴相交于点 $D (0 ， - 4)$ ， $O A = 2 O B$ .

(1)、求点A的坐标及直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、试探究在x轴上是否存在点P ，使得 $△ P A C$ 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 如图1，已知 $△ A B C$ ，以 $A B$ 、 $A C$ 为边分别向 $△ A B C$ 外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ ，则有 $B E = C D$ .

(1)、如图2，已知 $△ A B C$ ，以 $A B$ 、 $A C$ 为边分别向外作等腰直角三角形 $A B D$ 和等腰直角三角形 $A C E$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ ，猜想 $B E$ 与 $C D$ 有什么数量关系？并说明理由.

(2)、如图2，连接 $D E$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $B C^{2} + D E^{2}$ 的值.

(3)、运用图（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得 $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ C A E = 90 °$ ， $A B = B C = 100$ 米， $A C = A E$ ，求 $B E$ 的长（结果保留根号）.

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时间x（小时）	1	2	3	4	5
圆柱体容器液面高度y（厘米）	6	10	14	18	22

	琮琮	莲莲
进价（元/个）	60	70
售价（元/个）	80	100