河北省张家口市宣化区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $4 x - x^{2} = 0$ B、 $3 x^{2} - y - 1 = 0$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $x + \frac{1}{x} = 0$

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x = 9$ 二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A、6，2，9 B、2，－6，9 C、2，－6，－9 D、－2，6，－9

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3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ B、 $k \geq - 1$ C、 $k > - 1$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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4. 若a是方程 $3 x^{2} - 6 x - 2 = 10$ 的一个解，则 $2 a^{2} - 4 a - 2031$ 的值是（）

A、2023 B、－2023 C、2022 D、－2022

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5. 抛物线 $y = - 3 {(x - 4)}^{2}$ 向右平移3个单位长度得到的抛物线的函数关系式为（）

A、 $y = - 3 {(x - 7)}^{2}$ B、 $y = - 3 {(x - 1)}^{2}$ C、 $y = - 3 {(x - 3)}^{2}$ D、 $y = - 3 {(x + 3)}^{2}$

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6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则正确的是（）

A、依题意 $2 (x + x + 12) = 864$ B、依题意 $x (x - 12) = 864$ C、这块田地的宽为24步或36步 D、这块田地的周长为120步

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7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 和二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况判断如下，其中正确的有（）
甲：当 $m = 1$ 时，该方程没有实数根；
乙：当 $m = 3$ 时，该方程有两个相等实数根；
丙：当 $m = 5$ 时，该方程有两个不相等的实数根.

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解.过程如图所示：
接力中，自己负责的出现错误的是（）

A、甲和乙 B、乙和丙 C、乙和丁 D、甲和丙

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，图象过点 $A (- 3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，给出四个结论：① $b^{2} \geq 4 a c$ ；② $3 a + c = 0$ ；③ $2 a + b = 0$ ；④若点 $B (- \frac{5}{2} ， y_{1})$ 、 $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ，其中正确结论是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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11. 题目：“如图，抛物线 $y = x^{2} + m x$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2 ， 0)$ 和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围.”对于其答案，甲答： $x_{M} = 3$ ，乙答： $- 1 \leq x_{M} < 2$ ，丙答： $- 1 < x_{M} \leq 2$ ，丁答： $- 1 \leq x_{M} \leq 2$ ，则正确的是（）

A、只有甲答的对 B、甲、乙答案合在一起才完整 C、甲、丙答案合在一起才完整 D、甲、丁答案合在一起才完整

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）

12. 关于x的方程 $(k + 1) x^{| k | + 1} - x + 5 = 0$ 是一元二次方程，则 $k =$ .

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13. 已知a，b分别是方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两根，则 $a^{2} + 4 a + 2 b$ 的值为.

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14. 某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染.设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为.

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15. 如果实数a，b满足 $a^{2} + 2 a = 2$ ， $b^{2} - 2 b = 2$ ，且 $a + b \neq 0$ ，则ab的值.

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16. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽4m，水面上升2m，水面宽度减少m.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为 $(1 ， 1)$ 、 $(1 ， 4)$ 、 $(4 ， 4)$ .若抛物线 $y = a x^{2}$ 的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是.

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三、解答题（共7小题，共58分）

18. 选择适当的方法解方程.

(1)、 $x^{2} - x - 2 = 0$

(2)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

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19. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．

(1)、如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

(2)、按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

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20. 在实数范围内定义新运算“ $△$ ”，其规则为： $a △ b = a^{2} - a b$ ，根据这个规则，解决下列问题：

(1)、求 $(x + 2) △ 5 = 0$ 中的x值；

(2)、证明： $(x + m) △ 5 = 0$ 中，无论m为何值，x总有两个不同的值.

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21. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边 $A B = x$ 米，面积为y平方米.

(1)、y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为；

(2)、若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；

(3)、当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.

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22. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为 $A (- 1 ， 0)$ ，与y轴的交点坐标为 $C (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)、根据图象回答：当x取何值时， $y < 0$ ；

(3)、在抛物线的对称轴上有一动点P，求 $P A + P C$ 的最小值，并求当 $P A + P C$ 取最小值时点P的坐标.

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23. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；而销售单价每涨1元，销售量将减少10个，设每个销售单价为x元.

(1)、写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；

(2)、若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

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24. 已知抛物线L： $y = a x^{2} - 2 a x + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为C.

(1)、求点C的坐标；

(2)、已知点 $P (t ， t - 1)$ 和点 $Q (- 1 ， t - 5)$ ，且PQ的中点恰好在y轴上.
① $t =$ ▲ ；
②当 $a = 1$ 时，若抛物线L平移后经过点P，Q，设平移后的抛物线为 $L^{'}$ ，求L平移到 $L^{'}$ 的最短路程.

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