河北省唐山市遵化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共16个小题，共38分．1-6小题各3分，7-16小题各2分．每小题只有一项符合题目要求）

1. 下列方程中① $2 x^{2} - \frac{1}{3 x} = 1$ ② $2 x^{2} - 5 x y + y^{2} = 0$ ③ $7 x^{2} + 1 = 0$ ④ $\frac{y^{2}}{2} = 0$ 是一元二次方程的（）

A、①和② B、②和③ C、③和④ D、①和③

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2. 5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别88分，80分，75分，82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红得的成绩是（）

A、95分 B、94分 C、84分 D、92分

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ，则 $c o s A$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 数据1， $- 1$ ， 3，x，4有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是（）

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、4

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5. 四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $∠ A = 117 °$ ， $∠ B = 77 °$ ， $∠ D_{1} = 83 °$ ．则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $77 °$ B、 $83 °$ C、 $117 °$ D、 $80 °$

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6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机取部分麦苗，获得苗高（单位；cm）的平均数与方差为： $\bar{x_{甲}} = \bar{x_{丙}} = 13$ ， $\bar{x_{乙}} = \bar{x_{丁}} = 15$ ； $S_{甲}^{2} = S_{丁}^{2} = 3.6$ ， $S_{乙}^{2} = S_{丙}^{2} = 6.3$ ，则麦苗又高又整齐的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 已知一组数据， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的平均数是2，方差是3．则另一组数据 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， $3 x_{3} - 2$ ， $3 x_{4} - 2$ ，的平均数和方差分别是（）

A、4，3 B、4，27 C、6，3 D、6，27

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8. 一元二次方程 $3 x^{2} = 12$ 的二次项，一次项和常数项分别为（）

A、 $3 x^{2}$ ，无一次项， $- 12$ B、 $3 x^{2}$ ，无一次项，12 C、 $3 x^{2}$ ， 0， $- 12$ D、 $3 x^{2}$ ， 0，12

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9. 用配方法解方程 $x^{2} - 10 x - 11 = 0$ ，配方后可得（）

A、 ${(x + 5)}^{2} = 36$ B、 ${(x - 5)}^{2} = 36$ C、 ${(x - 5)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 5)}^{2} = 25$

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10. 已知 $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ 且 $A B = 5 c m$ ， $B C = 4 c m$ ， $C A = 3 c m$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的最长边是10cm，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是（）

A、24 B、12 C、9 D、20

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11. 下列选项中，能使关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 k = 0$ ，一定有实数根的是（）

A、 $k > - \frac{9}{8}$ B、 $k < - \frac{9}{8}$ C、 $k \geq - \frac{9}{8}$ D、 $k \leq - \frac{9}{8}$

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12. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（）

A、 $2 {(1 + x)}^{2} = 8$ B、 $2 {(1 - x)}^{2} = 8$ C、 $2 + 2 (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} = 8$ D、 $2 (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} = 8$

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13. 如图，在△ABC中，DE∥BC， $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{△ A D E 的周长}{△ A B C 的周长} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{△ A D E 的面积}{△ A B C 的面积} = \frac{1}{3}$

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14. ${(s i n 45 °)}^{2} + t a n 60 ° s i n 60 °$ 的结果是（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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15. 若 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 2) = 8$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、4或 $- 2$ C、 $- 4$ 或2 D、4

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16. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题有3小题，共9分。其中17题每空1分，18，19题每空3分）

17. 一组数据 $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1，2，3则这组数据的平均数是，中位数是，众数是

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18. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 4 = 0$ 的两实根，则 $(x_{1} + 4) (x_{2} + 4)$ 的值是．

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19. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ （ $x$ ， $y$ ， $z$ 均不为0），则 $\frac{x + 2 y - z}{z}$ 的值为

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三、解答题（本大题共有7个小题，共72分）

20. 计算

(1)、解方程： $x^{2} - 3 x = 5 (x - 3)$ （用配方法）

(2)、解方程： $4 x^{2} + x - 3 = 0$ （用公式法）

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 $(4 ， 2)$ 和 $(3 ， 0)$ ．

(1)、以O为位似中心，在网格中作出 $△ O A B$ 的位似图形，使新图形 $△ O A_{1} B_{2}$ 与原图形的位似比为1：2．

(2)、写出新图形各顶点的坐标．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $E F ∥ B C$ ，分别交AB，AC，AD于点E，F，G， $\frac{A E}{A B} = \frac{3}{5}$ ， $A D = 15$ ，求AG的长．

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23. 某工厂生产的一种产品按质量分为10个档次．若生产第一档次（最低档）的产品，则一天可以生产76件，每件的利润为10元．每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设生产的产品质量的档次（每天只生产一个档次的产品）为x时，一天的利润为y元．

(1)、用含x的代数式分别表示出每件产品的利润及每天生产的件数．

(2)、若生产该产品一天的总利润为1080元，则该工厂生产的是第几档次的产品？

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24. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $A B$ ．无人机从点A的正上方点C ，沿正东方向以 $8 m / s$ 的速度飞行15s到达点D ，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E ，测得点B的俯角为37°．
（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求无人机的高度 $A C$ （结果保留根号）；

(2)、求 $A B$ 的长度（结果精确到1m）．

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25. 某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
A，B产品单价变化统计表

第一次
第二次
第三次
A产品单价（元/件）
6
5.2
6.5
B产品单价（元/件）
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
$\bar{x_{A}} = 5.9$ ， $s_{A}^{2} = \frac{1}{3} [(6 - 5.9)^{2} + (5.2 - 5.9)^{2} + (6.5 - 5.9)^{2}] = \frac{43}{150}$

(1)、补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 ▲ %

(2)、求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；

(3)、该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调 $m % (m > 0)$ ，使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 8 c m$ ， $A C ： A B = 3 ： 5$ ．动点P，Q分别从点B，C同时出发，点P以2cm/s的速度沿BC向点C移动，点Q以1cm/s的速度沿CA向点A移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？

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	第一次	第二次	第三次
A产品单价（元/件）	6	5.2	6.5
B产品单价（元/件）	3.5	4	3