贵州省贵阳市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．

1. $2 - (- 1)$ 的结果是（）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、1，2，1 B、1， $- 2$ ， 1 C、0， $- 2$ ， $- 1$ D、0， $- 2$ ， 1

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3. 如图，一条街道有两个拐角 $∠ A B C$ 和 $∠ B C D$ ，已知 $A B ∥ C D$ ，若 $∠ A B C = 150 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、30° B、120° C、130° D、150°

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4. 小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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5. 已知 $x = 2$ 时，分式 $\frac{1}{□}$ 无意义，则□所表示的代数式是（）

A、 $x - 2$ B、 $x + 2$ C、x D、2x

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6. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中的总球数大约是（）

A、15 B、20 C、25 D、30

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7. 已知 $m = 1 + \sqrt{2}$ ，则以下对m的估算正确的是（）

A、 $1 < m < 2$ B、 $2 < m < 3$ C、 $3 < m < 4$ D、 $4 < m < 5$

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8. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横格交于点B ．若 $A B = 6$ ，则AC的长是（）

A、9 B、12 C、14 D、15

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9. 如图， $▱ A B C D$ 中 $(A B < B C)$ ，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC ， BA于点F ， G ，再分别以F ， G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 的长为半径作弧，两弧交于点H ，作射线BH ，交AD边于点E ．若 $∠ A = 110 °$ ，则 $∠ A E B$ 的度数是（）

A、70° B、60° C、45° D、35°

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个不相等的实根，则m的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 小红用四根相同长度的木条制作了一个四边形学具（如图①），测得其对角线AC的长为6cm， $∠ A B C = 60 °$ ．根据四边形的不稳定性，她将其变成了另一个四边形学具（如图②），使 $∠ A B C = 90 °$ ，则图②中对角线AC的长为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、6 D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 即 $x (x + 2) = 35$ 为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是 ${(x + x + 2)}^{2}$ ．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 35 + 2^{2}$ ，因此 $x = 5$ ．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程： $x^{2} - x - 6 = 0$ 解法的构图是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题：每小题4分，共16分．

13. 化简 $2 m + 3 m$ 的结果是．

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14. 2023年6月15日吉林一号高分06A系列卫星成功发射，创造了我国航天单次发射卫星数量最多的记录．发射前为确保万无一失，工程师对运载火箭的所有零部件进行了检查，则采用的调查方式是．（填“普查”或“抽样调查”）

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15. 已知n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的根，代数式 $n (n - 1) + 2$ 的值是．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E ，作BC的垂线，交BC于点F ．若 $A B = C E$ ，且 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则BC的长是．

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三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{4} + (2023 - π)^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $(1 - \frac{1}{\sqrt{a + 1}}) + \frac{a^{2} + 2 a}{a + 1}$ ．

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18. 如图①，是两个长方体组合的几何体．

(1)、图②和图③是它的两种视图，图②是视图，图③是视图；（填“主”“左”或“俯”）

(2)、根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．

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19. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，小红和小星随机从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付（假设每种支付方式等可能且无关联）．

(1)、小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是；

(2)、请用列表或画树状图法，求小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率（依次记“微信”“支付宝”“现金”为A、B、C）．

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20. 如图， $△ A B C$ 中，D是边BC上的一点， $∠ A D C = ∠ B A C$ ．

(1)、在BC上求作一点E ，使 $A D = A E$ ；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、求证： $△ A C D ∽ △ B A E$ ．

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21. 如图，直线 $l_{1} ： y = - x + b$ 与x轴，y轴分别相交于 $A (6 ， 0)$ ， B两点．

(1)、b的值是，点B的坐标为；

(2)、过B点的直线 $l_{2}$ 交x轴于点C ，且 $O B ： O C = 3 ： 1$ ，求直线BC对应的函数表达式．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D是AB的中点．
求证： $C D = \frac{1}{2} A B$ ．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
请选择一位同学的方法，完成证明．

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23. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， O在一条直线上为止．这时我们说，在 $D_{1}$ 处用①号“E”测得的视力与在 $D_{2}$ 处用②号“E”测得的视力相同．

(1)、探究图中 $\frac{b_{1}}{l_{1}}$ 与 $\frac{b_{2}}{l_{2}}$ 之间的关系，请说明理由；

(2)、若 $b_{1} = 3.2 c m ， b_{2} = 2 c m$ ， ①号“E”的测量距离 $l_{1} = 80 c m$ ，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离 $l_{2}$ ．

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24. 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．

(1)、若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是件（用含x的代数式表示）；

(2)、不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？

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25. 小红在学习菱形的概念后，对菱形进一步开展探究活动：
如图①，在菱形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ， BD为对角线．

(1)、【问题解决】
如图②，点E为BC延长线上一点，连接DE ，在线段DE上取点F使 $∠ C D E = ∠ F B E$ ，点G为FB与CD的交点，则 $∠ B F D$ 的度数是度；

(2)、【问题探究】
如图③，点E为BC延长线上一点，连接DE ，在线段DE上取点F ，使 $∠ C D E = 2 ∠ F B E$ ，判断 $△ B D F$ 的形状，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
如图③，在（2）的条件下，探究线段GC ， CE ， EF之间的数量关系，并说明理由．

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