贵州省六盘水市盘州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥1 B、x≤1 C、x＞1 D、x≠1

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2. 方程x²=2x的解是（）

A、x=0 B、x=2 C、x₁=0，x₂=2 D、x₁=0，x₂= $\sqrt{2}$

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3. 如图，AD∥BE∥CF ，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F ， AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（　　）

A、4 B、5 C、6 D、4.5

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $C D = 4$ ， $A C = 6$ ，则 $c o s A$ 的值是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 如图，学校种植园是长32米，宽20米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为 $x$ 米，则下面所列方程正确的是（）

A、 $(32 - x) (20 - x) = 600$ B、 $(32 - x) (20 - 2 x) = 600$ C、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(32 - 2 x) (20 - 2 x) = 600$

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6. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 的图象上．若 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y {}_{1}\geq y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y 2$ D、 $y_{1} < y_{2}$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O A$ 垂直弦 $B C$ 于点D ．若 $∠ A C B = 33 °$ ，则 $∠ O B C$ 的大小为（　　）

A、 $24 °$ B、 $33 °$ C、 $34 °$ D、 $66 °$

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8.
如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 计算： $\sqrt{27} - \sqrt{3}$ =.

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是.

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11. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为．

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12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是°．

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13. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 后得到线段CD，则端点C的坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B ，对称轴为直线 $x = - 2$ ，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形 $A O B C$ 的周长为a ，则 $△ A B C$ 的周长为（用含a的代数式表示）．

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算： $3 \sqrt{5} - \sqrt{20} + 2 s i n 30 °$ ．

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16. 解方程： $x^{2} - 3 x = 1$ ．

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17. 某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件，假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同，求2013年到2015年这种产品产量的年增长率．

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18. 图①、图②均是边长为1的正方形网格， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上．

(1)、在图①中画一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，满足 $△ A_{1} B_{1} C_{1} ∽ △ A B C$ ，且相似比不为1：1．

(2)、在图②中将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C$ ，求旋转过程中 $B$ 点所经过的路径长．

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19. 如图， $A B$ 是半圆所在圆的直径，点O为圆心， $O A = 5$ ，弦 $A C = 8$ ， $O D ⊥ A C$ 于E ，交 $⊙ O$ 于D ，连接 $B C$ 、 $B E$ ．

(1)、求 $O E$ 的长．

(2)、设 $∠ B E C = α$ ，求 $t a n α$ 的值．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 6$ 的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x²+1于点B ，点B在第一象限．

(1)、求点A的坐标；

(2)、点P为x轴上任意一点，连结AP、BP ，求△ABP的面积．

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21. 某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面 $A C F E$ 如图所示． $A E$ 为台面， $A C$ 垂直于地面， $A B$ 表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角 $∠ A B C$ 为 $43 °$ ，坡长 $A B$ 为 $2 m$ ．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡 $A B$ 的坡角， $A D$ 是改造后的斜坡（ $D$ 在直线 $B C$ 上），坡角 $∠ A D C$ 为 $31 °$ ．求斜坡 $A D$ 底端 $D$ 与平台 $A C$ 的距离 $C D$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ）【参考数据： $s i n 43 ° = 0.68 ， c o s 43 ° = 0.73 ， t a n 43 ° = 0.93$ ； $s i n 31 ° = 0.52 ， c o s 31 ° = 0.86 ， t a n 31 ° = 0.60$ 】

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 30 ° ， ∠ A C B = 90 ° ， A B = 4$ ．延长 $C A$ 到O ，使 $A O = A C$ ，以O 为圆心， $O A$ 长为半径作 $⊙ O$ 交 $B A$ 延长线于点D ，连结 $O D 、 C D$ ．

(1)、求扇形 $O A D$ 的面积．

(2)、判断 $C D$ 所在直线与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ．动点P从点B出发，在 $B A$ 边上以每秒 $5 c m$ 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 $C B$ 边上以每秒 $4 c m$ 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 $(0 < t < 2)$ ．

(1)、用含t的代数式表示 $B P 、 B Q$ 的长．

(2)、连结 $P Q$ ，如图①所示．当 $△ B P Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，求t的值．

(3)、过点P作 $P D ⊥ B C$ 于D ，连结 $A Q 、 C P$ ，如图②所示．当 $A Q ⊥ C P$ 时，直接写出线段 $P D$ 的长．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于 $A (4 ， 0)$ 、 $B (- 3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ．

(1)、求这条抛物线所对应的函数表达式．

(2)、如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m ，以O、A、C、D为顶点的四边形面积为S ，求S与m之间的函数关系式．

(3)、如图②，连结 $B C$ ，点M为线段 $A B$ 上一点，点N为线段 $B C$ 上一点，且 $B M = C N = n$ ，直接写出当n为何值时 $△ B M N$ 为等腰三角形．

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