河北省石家庄市正定县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 实数 $\sqrt{15}$ ， 0， $π$ ， $\sqrt{\frac{9}{17}}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\sqrt[3]{- 27}$ ， 0.101001001……（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 代数式 $\frac{2}{5} x$ ， $\frac{1}{π}$ ， $\frac{2}{x^{2} + 4}$ ， $x^{2} - \frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{x}$ ， $\frac{x + 1}{x + 2}$ ， $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 中，属于分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 要使分式 $\frac{3}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x < 2$ C、 $x \neq - 2$ D、 $x > 2$

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4. 精确到0.1，得到21.0的数是下面的（）

A、21.12 B、21.05 C、20.95 D、20.945

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5. 若分式 $\frac{x + 2 y}{3 x - 2 y}$ 中的x ， y都扩大原来的3倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的9倍 B、扩大为原来的3倍 C、不变 D、缩小到原来的 $\frac{1}{3}$

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6. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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7. 如图，是嘉淇同学做的练习题，他最后的得分是（）

姓名嘉淇得分？

填空题（评分标准：每道题5分）

（1） $- 1$ 的平方根为1；

（2） $\sqrt{4}$ 的相反数为 $- 2$ ；

（3）8是一个数的立方根，则这个数为2；

（4）请写出一个无理数—— $- π$

A、5分 B、10分 C、15分 D、20分

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8. 解分式方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{x + 2}{1 - x} = 3$ 时，去分母后变形为（）

A、 $2 + (x + 2) = 3 (x - 1)$ B、 $2 - x + 2 = 3 (x - 1)$ C、 $2 - (x + 2) = 3 (x - 1)$ D、 $2 - (x + 2) = 3 (1 - x)$

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9. 如图，将边长分别为2和1的矩形沿图中虚线剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点．将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 折叠，使点 $A$ 恰好落在边 $B C$ 上的点 $E$ 处．若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则 $△ B D E$ 的周长是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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11. 若 $\frac{□}{x + y} \div \frac{x}{y^{2} - x^{2}}$ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（）

A、 $y - x$ B、 $y + x$ C、 $\frac{1}{x}$ D、 $3 x$

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12. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{x + m}{1 - x} = 1$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 3$ B、 $m > 3$ C、 $m > 3$ 且 $m \neq 1$ D、 $m < 3$ 且 $m \neq 1$

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13. 在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $∠ B = ∠ B^{'} = 40 °$ ， $A B = A^{'} B^{'} = 6$ ， $A C = A^{'} C^{'} = 4$ ．已知 $∠ C = n °$ ，则 $∠ C^{'} =$ （）

A、40° B、40°或140° C、 $n °$ 或 $180 ° - n °$ D、 $n °$

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14. 老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（）
甲：设该品牌的饮料每瓶是 $x$ 元，则 $\frac{36}{x} - \frac{36}{0.9 x} = 2$ 乙：设该品牌饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} \times 0.9 = \frac{36}{x + 2}$
丙：设该品牌的饮料每瓶是 $x$ 元，则 $0.9 \times (36 + 2 x) = 36$ 丁：设该品牌饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} = \frac{36 \times 0.9}{x + 2}$

A、甲、丁 B、甲、乙 C、乙、丙 D、甲、乙、丙

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15. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中，点A ， E ， B ， D在同一直线上， $A C / / D F$ ， $A C = D F$ ，只添加一个条件，能判定 $△ A B C ≌ △ D E F$ 的是（）

A、 $B C = D E$ B、 $∠ A B C = ∠ D$ C、 $∠ A = ∠ D E F$ D、 $A E = D B$

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16. 如图，点 $C$ 在线段 $B D$ 上， $A B ⊥ B D$ 于点 $B$ ， $E D ⊥ B D$ 于点 $D$ ， $∠ A C E = 90 °$ ，且 $A C = 7 c m$ ， $C E = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始以 $2 c m / s$ 速度沿 $A C$ 向终点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 以 $3 c m / s$ 的速度从点 $E$ 开始，在线段 $E C$ 上往返运动（即沿 $E \to C \to E$ 运动），当点 $P$ 到达终点时， $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过 $P$ 、 $Q$ 分别作 $B D$ 的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ．设运动的时间为 $t s$ ，当以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 三点为顶点的三角形与 $△ Q C N$ 全等时，t的值为（）s．

A、1 B、1或3 C、2或4 D、1或4

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，20题第一个空1分，第二个空2分，共12分，请把答案填在题中的横线上）

17. $\sqrt{16}$ 的平方根是．

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18. $x = 5$ 是方程 $\frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + a}$ 的解，则a的值为．

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19. 化简： $\frac{2}{x - 1} + \frac{2 x}{1 - x}$ 的结果为．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $∠ B = ∠ C = 40 °$ ．点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动（ $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ．
⑴当 $∠ B D A = 120 °$ 时， $∠ D E C =$ °；
⑵当 $D C =$ 时， $△ A B D ≌ △ D C E$ ．

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三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21. 以下是某同学化简分式 $(\frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{3}{x - 2}$ 的部分运算过程：
解：原式 $= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2}] \cdot \frac{x - 2}{3}$ ①
$= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{x - 2}{3}$ ②
$= \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{3}$ ③
…

(1)、上面的运算过程中第步出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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22. 已知点A ， B在数轴上所对应的数分别为 $\frac{m}{x - 8}$ ， $\frac{x - 7}{8 - x}$ ， A ， B两点关于原点对称．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $x$ 的值；

(2)、若不存在满足条件的 $x$ ，求 $m$ 的值．

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23. 已知正数 $a$ 的两个平方根分别是 $x + 3$ 和 $2 x - 6$ ， $\sqrt[3]{2 - 3 b}$ 与 $\sqrt[3]{4 (b - 3)}$ 互为相反数，求 $a + 2 b$ 的平方根．

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24. 如图，已知 $E C = A C$ ， $∠ B C E = ∠ D C A$ ， $∠ A = ∠ E$ ， $B C = 4$ ．求 $D C$ 的值．

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25. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A ， B两种型号的充电桩．已知 $A$ 型充电桩比 $B$ 型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买 $A$ 型充电桩与用18万元购买 $B$ 型充电桩的数量相等．

(1)、A ， B两种型号充电桩的单价各是多少?

(2)、该停车场计划共购买20个A ， B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且 $A$ 型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?

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26. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 是线段 $C A$ 延长线上一点，且 $A D = A B$ ，点 $F$ 是线段 $A B$ 上一点，连接 $D F$ ，以 $D F$ 为斜边作等腰 $R t △ D F E$ ，连接 $E A$ ，且 $E A ⊥ A B$ ．

(1)、过 $D$ 点作 $D G ⊥ A E$ ，垂足为 $G$ ．
①求证： $△ D E G ≌ △ E F A$
②求证： $A E = A F + B C$ ；

(2)、如图2，若点 $F$ 是线段 $B A$ 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段 $A E$ ， $A F$ ， $B C$ 之间的数量关系，并说明理由．

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