吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列函数中，与函数 $y = x - 1$ 相同的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ B、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $y = t - 1$ D、 $y = - \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

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2. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层随机抽样的方法从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三所学校中抽取 $60$ 名教师进行调查，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三所学校中分别有 $180$ ， $270$ ， $90$ 名教师，则从 $C$ 学校中应抽取的教师人数为（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 $18$ D、 $24$

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3. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $f (x)$ 一定有零点的区间为（）

A、 $(2，3)$ B、 $(1，2)$ C、 $(- 1，0)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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4. 已知 $a = {l o g}_{0.5} 0.4$ ， $b = {0.4}^{0.6}$ ， $c = {0.4}^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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5. 已知圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = \frac{25}{4} ， C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，动圆 $P$ 与圆 $C_{1} ， C_{2}$ 都外切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x > 0)$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x < 0)$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x > 0)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x < 0)$

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6. 已知 $M$ 是抛物线 $x^{2} = 16 y$ 上任意一点， $A (0，4)$ ， $B (- 1，1)$ ，则 $| M A | + | M B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $3$ C、 $8$ D、 $5$

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7. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $P$ 为直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一点，若 $△ F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30 °$ 的等腰三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. P是双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（　）.

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 设 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知抛物线 $C$ ： $y ^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x _{0}$ ， $y _{0})$ 在抛物线 $C$ 上，若 $| M F | = 4$ ，则（）

A、 $x _{0} = 3$ B、 $y_{0} = 3$ C、 $| O M | = \sqrt{21}$ D、 $F$ 的坐标为 $(0，1)$

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11. 已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + n y^{2} = 1 .$ 则下列选项正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $y$ 轴上 B、若 $m = n > 0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若 $m n < 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则 $C$ 是两条直线

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为 $4$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3}]$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为 $1$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $< \vec{a} ， \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点到直线 $y = \sqrt{3} x$ 的距离是．

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16. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于点 $A$ ， $B$ ，交其准线 $l$ 于点 $C$ ，若 $F$ 是 $A C$ 的中点，且 $|A F| = 4$ ，则线段 $A B$ 的长为．

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四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)、以直线 $y = \pm \sqrt{3} x$ 为渐近线，焦点是 $(- 4，0)$ ， $(4，0)$ 的双曲线；

(2)、中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率为 $\frac{3}{5}$ ，短轴长为 $8$ 的椭圆．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A C$ 、 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{3}{x} - 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用单调性定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ 上是增函数．

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ．

(1)、求与双曲线 $C$ 有共同的渐近线，且过点 $(- \sqrt[]{2} ， \sqrt[]{2})$ 的双曲线的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 、 $B$ 的中点坐标为 $(1，1)$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{3}) - 2 s i n x c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期、最大值、最小值；

(2)、求函数的单调区间．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $C$ 的下顶点和上顶点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且 $| B_{1} B_{2} | = 2 .$ 过点 $P (0，2)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当 $k = 2$ 时，求 $△ O M N$ 的面积；

(3)、求证：不论 $k$ 为何值，直线 $B_{1} M$ 与直线 $B_{2} N$ 的交点 $T$ 恒在一条定直线上．

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吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）