四川省德阳市德阳名校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应位置上.

1. 对抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，下列判断正确的是（）

A、准线方程是 $x = - 1$ B、焦点坐标是 $(1 ， 0)$ C、准线方程是 $y = 1$ D、焦点坐标是 $(0 ， 1)$

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2. 已知点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + 2 \vec{O C}$ 则 $m + n$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3. 杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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4. 若 $α \in [0 ， π]$ ， $c o s \frac{5 α}{3} c o s \frac{2 α}{3} + s i n \frac{5 α}{3} s i n \frac{2 α}{3} = 0$ ，则 $α$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足 $| A F | = 3 | B F |$ ，则直线l的斜率为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（）（结果精确到0.01）

A、4.96 B、5.06 C、4.26 D、3.68

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7. 圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ ，过点 $P (2 ， - 1)$ 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）

A、 $10 \sqrt{13}$ B、 $9 \sqrt{21}$ C、 $10 \sqrt{23}$ D、 $9 \sqrt{11}$

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8. 点A、B分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示的曲线是 $E$ ，则曲线 $E$ 可以是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1 ， 2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = k x - 2$ 在 $y$ 轴的截距是2 C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为30° D、过点 $(5 ， 4)$ 且倾斜角为90°的直线方程为 $x - 5 = 0$

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11. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $A (0 ， 2 ， 1)$ ， $B (0 ， - 1 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，则（）

A、直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、点O到平面ABC的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、异面直线OA与BC所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{70}}{35}$ D、点A到直线OB的距离为2

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12. 已知双曲线 $E$ 过点 $(- 2 ， 3 \sqrt{2})$ 且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 共渐近线，直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过点 $A$ ， $B$ 且与双曲线 $E$ 相切的两条直线交于点 $P$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $E$ 的标准方程是 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{18} = 1$ B、若 $A B$ 的中点为 $(1 ， 4)$ ，则直线 $l$ 的方程为 $9 x - 16 y + 55 = 0$ C、若点 $A$ 的坐标为 $(x_{1} ， y_{1})$ ，则直线 $A P$ 的方程为 $9 x_{1} x - 4 y_{1} y + 36 = 0$ D、若点 $P$ 在直线 $3 x - 4 y + 6 = 0$ 上运动，则直线 $l$ 恒过点 $(3 ， 6)$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦距是2，则该椭圆的长轴长为.

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14. 已知直线 $l_{1} ： 3 x + a y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 3 x + 4 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间距离是.

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15. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，点 $Q$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最大值为．

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16. 已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点，点 $M$ ， $N$ 分别在直线 $l_{1} ： y = \frac{1}{3} x$ 与 $l_{2} ： y = - \frac{1}{3} x$ 上，且 $P M / / l_{2}$ ， $P N / / l_{1}$ ，若 $P M^{2} + P N^{2}$ 为定值，则椭圆的离心率为.

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四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知圆心为 $(2 ， 1)$ 的圆C与直线 $l ： x = 3$ 相切．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若圆C与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，求两个圆公共弦 $A B$ 的长

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18. 已知椭圆 $C ： x^{2} + 2 y^{2} = 2$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $△ A B F_{2}$ 的面积．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $a = \sqrt{13}$ ，求 $b + c$ .

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20. 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为 $p ， p ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{2}$ ，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为 $\frac{1}{72}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求小红不能正确解答本题的概率；

(3)、求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $A C = 8 ， P A = P C = 5$ ， O为 $A C$ 中点.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

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22. 已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）上的一点 $M (x_{M} ， \frac{3}{4})$ 到准线的距离为1．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的三个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在抛物线 $E$ 上，求这种正方形面积的最小值．

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