四川省眉山市彭山区重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. “ $\exists x \in R ， e^{2 x} - e^{x} - 6 > 0$ ”的否定是（　　）

A、 $\exists x \in R ， e^{2 x} - e^{x} - 6 \leq 0$ B、 $\forall x \in R ， e^{2 x} - e^{x} - 6 \leq 0$ C、 $\exists x \in R ， e^{2 x} - e^{x} - 6 < 0$ D、 $\forall x \in R ， e^{2 x} - e^{x} - 6 > 0$

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2. 函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点（　　）

A、 $(0 ， - 2)$ B、 $(0 ， - 1)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(1 ， - 1)$

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3. 已知集合 $A = {x | x \geq 0} ， B = {x | x^{2} - 1 < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （　　）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 0}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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4. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = 3^{x}$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = x^{2}$

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5. 设 $a = 0 . 9^{1.1}$ ， $b = 1 . 1^{0.9}$ ， $c = 1 . 1^{1.1}$ ，则（　　）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 2) x + 6 a - 1 ， x < 1 \\ a^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递减、那么实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{2}{3})$ C、 $[\frac{3}{8} ， \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{3}{8} ， 1)$

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7. 下列可能是函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} ， g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - m$ ，若对任意 $x_{2} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{1} \in [- 1 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 8 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 8]$

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二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（　　）

A、 $f (x) = x^{0} ， g (x) = 1$ B、 $f (x) = {(\sqrt[3]{x})}^{3} ， g (x) = x$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} ， g (x) = x + 2$ D、 $f (x) = x^{2} - 1 ， g (t) = t^{2} - 1$

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10. 下列说法正确的是（　　）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a c^{2} < b c^{2}$ ，则 $a < b$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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11. 下列说法正确的是（　　）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{- x^{2} + 1}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ 的图象关于 $(- 2 ， 1)$ 成中心对称 D、不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的充要条件是 $- 3 < k < 0$

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12. 下列说法正确的是（　　）

A、函数 $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， 2)$ B、若 $f (x)$ 定义在 $R$ 上的幂函数，则 $f (0) - f (1) = - 1$ C、函数 $y = 2^{- x^{2} + a x}$ 在 $(- \infty ， 1)$ 内单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $[2 ， + \infty)$ D、若 $f (1 + \sqrt{x}) = 2 x + 1$ ，则 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

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三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 1}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $m =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1 (a ， b \in R)$ ，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $f (2) =$ ．

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15. 已知 $- 1 \leq a + b \leq 1 ， - 1 \leq a - b \leq 1$ ，求 $2 a + 3 b$ 的取值范围．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (3) = 0$ ，函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 中心对称，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $(x_{1} \neq x_{2})$ ，不等式 $\frac{x_{1}^{2023} f (x_{1}) - x_{2}^{2023} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为.

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四、解答题（共6小题，满分70分）

17. 计算下列各式的值．

(1)、 $4^{\frac{1}{2}} + {(- 9.6)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

(2)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $a + a^{- 1}$ 的值．

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18. 已知指数函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(- 2 ， 9)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (- m^{2} + m + 1) < 1$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{b}{x}$ 过点 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明．

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 7]$ 上的最大值和最小值．

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 3 x$ ．

(1)、求 $f (- 1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若 $f (2 a - 1) + f (4 a - 3) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 彭山区响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将观音镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：“阳光玫瑰”的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 34 ， 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x$ 元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足下面两个条件：
①对任意 $x ， y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y) + 2023$ ．
②当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2023$ ；

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、已知 $g (x) = 2 x^{2} - x + 1$ ，若 $\forall x \in [1 ， 3]$ ，不等式 $f [g (x)] + f (- m x^{2}) \geq 4046$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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