四川省达州市重点中学校2023-2024学年高二上学期12月第二次月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 观察数列 $1 ， l n 2 ， s i n 3 ， 4 ， l n 5 ， s i n 6 ， 7 ， l n 8 ， s i n 9 \dots \dots$ ，则该数列的第 12 项等于（）

A、1212 B、12 C、 $l n 12$ D、 $s i n 12$

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2. 下列结论正确的是（）

A、底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B、各个面都是三角形的几何体是三锥 C、以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D、圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线

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3. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 18$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、36 B、45 C、54 D、63

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4. 如图，在正方体 ${A B C D - A}_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. “ $a = - \frac{1}{3}$ " 是“直线 $a x + （ a + 1 ） y = 0$ 和直线 $2 a x + （ 1 - a ） y + 1 = 0$ 平行”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q = \frac{1}{3}$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{99} = 60$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} \dots + a_{100}$ 等于（）

A、100 B、80 C、60 D、40

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7. 已知点 $P （ a ， b ）$ 在直线 $x - y = 0$ 上，则 $\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a + 2 b + 2} + \sqrt{{（ a - 2 ）}^{2} + b^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形. 如图的雪花曲线，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图 2，如此继续下去，得图（3）...不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。
记 $S_{n}$ 为第 $n$ 个图形的面积，如果这个作图过程可以一直继续下去，则 $S_{n}$ 将趋近于多少（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，且满足 $a_{7} = {3 a}_{5} ， \{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $a_{1} > 0$ B、当 $n = 5$ 时， $S_{n}$ 最大 C、 $S_{3} > S_{6}$ D、 $S_{8} > 0$

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10. 已知直线 $l ：（ m - 2 ） x + （ m + 1 ） y - 3 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 始终过第二象限 B、 $m = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ C、 $m = 1$ 时，直线 $l$ 关于原点对称的直线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ D、点 $P （ 2 ， 2 ）$ 到直线 $l$ 的最大距离为 $\sqrt{10}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线 $A C$ 进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（）

A、 $B ， D$ 两点间的距离 $d$ 满足 $0 < d < 2 \sqrt{2}$ B、 $A C ⊥ B D$ C、对应三棱锥 $D - A B C$ 的体积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、当二面角 $D - A C - B$ 为 $60^{\circ}$ 时， $B D = 2$

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12. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = {1 ， a}_{n} = \frac{{n a}_{n + 1}^{2}}{{n a}_{n + 1} + 1}$ ，则（）

A、 $a_{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $a_{n + 1} - a_{n} > \frac{1}{n + 1}$ D、 $a_{n + 1} < 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $（ 3 ， \sqrt{3} ）$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α =$ 。

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14. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = （ 2 n - 1 ） \cdot c o s \frac{n π}{2}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$

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15. 《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）. 如图所示，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ B C$ ，则该三棱锥即为鳖臑. 若 $A B = 2$ 且三棱锥外接球的体积为 $36 π$ ，则三棱雉 $P - A B C$ 体积的最大值是

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16. 直线 $l_{1} x + （ m + 1 ） y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ：（ m + 1 ） x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点 $P$ ，对任意实数 $m$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别恒过定点 $A ， B$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线 $2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $x - 3 y + 1 = 0$ 交于点 $P$ .

(1)、求过点 $P$ 且垂直于直线 $x + y + 2 = 0$ 的直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求过点 $P$ 并且在两坐标轴上的截距相等的直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 已知递增等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} = 5$ ，且 $a_{2} ， a_{3} ， a_{6}$ 成等比数列

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，已知正方体 ${A B C D - A}_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， M$ 为 ${A A}_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 ${M C D}_{1}$ ；

(2)、求平面 ${M C D}_{1}$ 与平面 $C_{1} {C D}_{1}$ 夹角的余弦值。

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20. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = {2 a}_{n} - 1 ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、已知数列 $b_{n} = a_{n} ∙ l o g_{2} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 在 $A B$ 上， $A E = 2 E B = 2$ ，且 $D E ⊥ A B$ .以 $D E$ 为折痕把 $△ A D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $F$ 的位置，且 $∠ F {E B = 60}^{\circ}$ .

(1)、求证： $B F ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若直线 $D F$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求点 $C$ 到平面 $D E F$ 的距离.

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22. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = {2 a}_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {l o g}_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ .

(1)、证明 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求数列 $\{\frac{（ n + 3 ）}{（ n + 1 ） a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；

(3)、求使不等式 $(1 + \frac{1}{b_{1}}) ∙ (1 + \frac{1}{b_{3}}) \dots (1 + \frac{1}{b_{2 n +}}) \geq m \sqrt{b_{2 n + 1}}$ ，对任意正整数 $n$ 都成立的最大实数 $m$ 的值.

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