重庆市忠县2023-2024学年高一上学期12月检测数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 若 $f （ x ） = \{\begin{array}{l} f （ x + 2 ）， x < 1 \\ {l o g}_{2} x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f （ - 2 ）$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、 $- 2$

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ y = {l o g}_{2} （ x - 2 ）\} ， B = \{x ∣ 2^{x} - 2 \geq 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 $[1 ， 2 ）$ C、 ${1 ， 2}$ D、 $[1 ， 2]$

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3. 若函数 $f （ x ） = \frac{x}{\sqrt{{m x}^{2} + 2 m x + 4}}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $（ 0 ， 4 ）$ B、 $（ - \infty ， 0 ） \cup （ 4 ， + \infty ）$ C、 $[0 ， 4 ）$ D、 $[0 ， 4]$

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4. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围是（）

A、 $[9 ， + \infty ）$ B、 $[3 ， + \infty ）$ C、 $（ 0 ， 3 ）$ D、 $（ 3 ， 9]$

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5. 已知函数 ${y = x}^{a} ， {y = b}^{x} ， y = {l o g}_{c} x$ 的图象如图所示，则（）

A、 $e^{a} < e^{c} < e^{b}$ B、 $e^{b} < e^{a} < e^{c}$ C、 $e^{a} < e^{b} < e^{c}$ D、 $e^{b} < e^{c} < e^{a}$

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6. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ${L = L}_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、72 B、74 C、76 D、78

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7. 已知 ${a = 1.2}^{0.2} ， b = {l o g}_{5} 2 ， c = {l o g}_{7} 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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8. 方程 $| l n x | {- e}^{- x} = 0$ 的所有实根的乘积为 $m$ ，则（）

A、 $1 < m < e$ B、 $m > \frac{1}{e}$ C、 $0 < m < 1$ D、 $m > e$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 生活经验告诉我们， $a$ 克糖水中有 $b$ 克糖 $（ a > 0 ， b > 0$ ，且 $a > b ）$ ，若再添加 $c$ 克糖 $（ c > 0 ）$ 后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ . 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）

A、若 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m}$ 与 $\frac{b}{a}$ 的大小关系随 $m$ 的变化而变化 B、若 $a > b > 0 ， m < 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、若 $a > b > 0 ， c > d > 0$ ，则 $\frac{b + d}{a + d} < \frac{b + c}{a + c}$ D、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则一定有 $\frac{a}{1 + a + b} + \frac{b}{1 + a + b} < \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$

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10. 给出下列命题，其中正确的命题有（）

A、函数 $f （ x ） = {l o g}_{a} （ 2 x - 1 ） - 1$ 的图象过定点 $（ 1 ， 0 ）$ B、已知函数 $f （ x ）$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f （ x ） = x （ x + 1 ）$ ，则 $f （ x ）$ 的解析式为 $f （ x ） {= x}^{2} - | x |$ C、若 ${l o g}_{a} \frac{1}{2} > 1$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、若 $2^{- x} - 2^{y} > l n x - l n （ - y ）（ x > 0 ， y < 0 ）$ ，则 $x + y < 0$

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11. 已知函数 $f （ x ） {= x}^{2} + 2 x + 2 （ x < 0 ）$ 与 $g （ x ） {= x}^{2} + l n （ x + a ）（ a \in R ， a > 0 ）$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值可以是下列数据中的（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $e$ D、 $3 e$

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12. 已知 $a > 1 ， b > 1 ， \frac{a}{a - 1} {= 2}^{a} ， \frac{b}{b - 1} = {l o g}_{2} b$ ，则以下结论正确的是（）

A、 ${a + 2}^{a} = b + {l o g}_{2} b$ B、 $\frac{1}{2^{a}} + \frac{1}{{l o g}_{2} b} = 1$ C、 $a - \frac{1}{b} < \frac{1}{2}$ D、 $a + b > 4$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若命题 $p ： 1 \leq x < 4$ 是命题 $q ： x < m$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知函数 $f （ x ） = 2023 x + l n \frac{1 - x}{1 + x} {+ e}^{x} - e^{- x} + 3 ， f （ a ） = - 3 （ - 1 < a < 1 ）$ ，则 $f （ - a ） =$ .

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15. 若函数 $y = {l o g}_{a} (x^{2} - a x + 2)$ 在区间 $（ - \infty ， 1]$ 上为减函数，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹．布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 $f （ x ）$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) {= x}_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个不动点. 现新定义：若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) {= - x}_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f （ x ）$ 的次不动点. 有下列结论：（1）定义在 $R$ 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点；（2）函数 $f （ x ） {= e}^{x} + 2 （ x - 1 ）$ 仅有一个不动点；（3）当 $1 \leq a \leq \frac{3}{2}$ 时，函数 $f （ x ） = {l o g}_{\frac{1}{2}} (4^{x} - a ∙ 2^{x} + 1)$ 在 $[0 ， 1]$ 上仅有一个不动点和一个次不动点．
上述结论正确的是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 4} ， B = {x ∣ 1 < x < 3} ， C = {x ∣ x < a}$ .

(1)、求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \cap (∁_{U} C) = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f （ x ） {= a x}^{2} + \frac{b}{x}$ ，且 $f （ 1 ） = 3 ， f （ 2 ） = 5$ .

(1)、求函数 $f （ x ）$ 的解析式；

(2)、判断并证明 $f （ x ）$ 在 $（ 1 ， + \infty ）$ 上的单调性.

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19. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入 90 万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前 $n (n \in N^{*})$ 年的总支出成本为 $({10 n}^{2} - 5 n)$ 万元，每年的销售收入 95 万元. 设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f （ n ）$ 万元.

(1)、写出 $f （ n ）$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 70 万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = ({l o g}_{2} x - 2) ({l o g}_{4} x - \frac{1}{2})$ .

(1)、当 $x \in [2 ， 4]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f （ x ） > m {l o g}_{2} x$ 对于 $x \in [4 ， 16]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知 $f （ x ）$ 为偶函数， $g （ x ）$ 为奇函数，且满足 $f （ x ） - g （ x ） {= 2}^{1 - x}$ .

(1)、求 $f （ x ）， g （ x ）$ ；

(2)、若方程 $m f （ x ） = {[g （ x ）]}^{2} + 2 m + 9$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 函数 $y = f （ x ）$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f （ x ）$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f （ x ）$ 的图象关于点 $P （ a ， b ）$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f （ x + a ） - b$ 为奇函数，给定函数 $f （ x ） = \frac{x^{2} + x - 6}{x + 1}$ .

(1)、求 $f （ x ）$ 的对称中心；

(2)、已知函数 $g （ x ）$ 同时满足：
① $g （ x + 1 ） - 1$ 是奇函数； ② 当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $g （ x ） {= x}^{2} - m x + m$ . 若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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