重庆市重点中学校2023-2024学年度高二上学期检测六数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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2. 已知随机事件 $A$ 和 $B$ 互斥，且 $P (A \cup B) = 0.6$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A})$ 等于（）

A、 $0.8$ B、 $0.7$ C、 $0.5$ D、 $0.2$

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3. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \geq 0)$ ，若 $a_{2}^{2}$ 是 $a_{1}^{2}$ 与 $a_{3}^{2} - 2$ 的等差中项，则d的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列的项数为（）

A、132 B、133 C、134 D、135

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5. 已知 ${a_{n}}$ 满足对一切正整数 $n$ 均有 $a_{n + 1} < a_{n}$ 且 $a_{n} = - n^{2} + λ n$ 恒成立，则实数 $λ$ 的范围是（）

A、 $λ > 0$ B、 $λ < 0$ C、 $λ < 3$ D、 $λ > - 3$

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6. 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点 $P$ 与两个焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离的和等于4，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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7. “斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，数列中的一系列数字常被人们称为神奇数，具体数列为1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列 ${a_{n}}$ 为“斐波那契”数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2021} = m$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $2 m$ B、 $m^{2} - 1$ C、 $m + 1$ D、 $m - 1$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段 $B F_{1}$ 的中点，且 $B F_{1} ⊥ B F_{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3} + 1$ D、3

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $a_{n} = - 2 n + 8$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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10. 一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，则（）

A、 $P_{1} < P_{2}$ B、 $P_{1} < P_{3}$ C、 $P_{2} = P_{3}$ D、 $2 P_{1} = P_{3}$

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11. 若正项数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 5$ ，则（）

A、当 $a_{3} = 7$ 时， $a_{7} = 15$ B、 $a_{4}$ 的取值范围是 $[5 ， 15)$ C、当 $a_{7}$ 为整数时， $a_{7}$ 的最大值为29 D、公差 $d$ 的取值范围是 $(0 ， 5)$

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12. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ .点 $E$ 为线段 $C D$ 上一动点（不与点 $D$ 重合），将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 向上翻折到 $△ A P E$ ，连接 $P B$ ， $P C$ .设 $D E = x (0 < x \leq 2)$ ，二面角 $P - A E - B$ 的大小为 $θ (0 < θ < π)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $x = 1$ ， $θ = \frac{π}{2}$ ，则 $c o s ∠ P A B = \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、若 $x = 1$ ，则存在 $θ$ ，使得 $P B ⊥$ 平面 $P A E$ C、若 $x = \frac{3}{2}$ ，则直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{3}{4}$ D、点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离的最大值为 $\sqrt{3}$ ，当且仅当 $x = 2$ 且 $c o s θ = \frac{3}{4}$ 时取得该最大值

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.）

13. 若一数列为1， $3^{7}$ ， $3^{14}$ ， $3^{21}$ ， …，则 $3^{98}$ 是这个数列的第项.

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14. 甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是；第3次由甲射击的概率是．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2010}$ 的值为.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 焦点为F，斜率为k的直线过F交抛物线于A，B， $A B$ 中点为Q，若圆 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 上存在点P使得 $| P Q | = \frac{1}{2} | A B |$ ，则k的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程.）

17. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点F与双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一个焦点重合.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且 $| A B | = 10$ ，求线段 $A B$ 的中点M到准线的距离.

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18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

(2)、从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(3)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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19. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 依次为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ ， $B_{1} (0 ， - b)$ ， $B_{2} (0 ， b)$ .

(1)、若 $a = \sqrt{5}$ ，以 $\vec{d} = (3 ， - 4)$ 为方向向量的直线 $l$ 经过 $B_{1}$ ，求 $F_{2}$ 到 $l$ 的距离.

(2)、在（1）的条件下，双曲线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\vec{P B_{1}} \cdot \vec{P B_{2}} = - 2$ ，若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由.

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20. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
①现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．
②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．

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21. 如图①，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A C ⊥ B C$ .将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ，连 $B D$ ，得如图②的几何体.

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面 $D B C$ ；

(2)、若 $D C = 1$ ，二面角 $C - A D - B$ 的平面角的正切值为 $2 \sqrt{5}$ ，在棱 $A B$ 上是否存在点 $M$ 使二面角 $B - C D - M$ 的平面角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$ ，若存在，请求出 $\frac{A M}{A B}$ 的值，若不存在，说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设斜率为k的直线与椭圆C交于 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，O为坐标原点，若 $△ M O N$ 的面积为定值 $\sqrt{3}$ ，判断 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

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