广东省四会名校、广信名校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-18 类型：月考试卷

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一、单选题（5分*8=40分）

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B)$ 等于（）

A、 ${1 ， 2 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$ C、 ${3 ， 5}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题：“ $\forall$ x>0，都有x²－x+1≤0”的否定是（）

A、 $\exists$ x>0，使得x²－x+1≤0 B、 $\exists$ x>0，使得x²－x+1>0 C、 $\forall$ x>0，都有x²－x+1>0 D、 $\forall$ x≤0，都有x²－x+1>0

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 3$ ”是“ $x (x - 2) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 3}$ 的定义域为（）

A、（1，＋∞） B、[1，＋∞） C、（1， $\sqrt{3}$ ） D、 $[1 ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x < 0 \\ \frac{x + 4}{x + 1} ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、2 B、3 C、 $- 3$ D、5

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6. 下列函数在 $(0 ， + ∞)$ 递减，且图像关于y轴对称的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{- 2}$

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7. 设 $a = 3^{0.5} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.4} ， c = l o g_{0.3} 0.4$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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8. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 $95 % ~ 100 %$ ，当血氧饱和度低于 $90 %$ 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： $S (t) = S_{0} e^{K t}$ 描述血氧饱和度 $S (t)$ 随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 $S_{0}$ 为初始血氧饱和度，K为参数.已知 $S_{0} = 60 %$ ，给氧1小时后，血氧饱和度为 $80 %$ .若使得血氧饱和度达到 $90 %$ ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据： $l n 2 \approx 0 ． 69 ， l n 3 \approx 1 ． 10$ ）

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.9

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二、多选题（5分*4=20分，全对5分，漏选2分）

9. 设 $b > a > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ C、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ D、 $a^{2} b < a b^{2}$

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10. 下列四个命题为真命题的是（）

A、 $p ：$ 所有平面四边形的内角和都是 $360 °$ B、 $q ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $r ： \exists x \in {x | x$ 是无理数}， $x^{2}$ 是无理数 D、 $\sqrt{3}$ 对所有实数a，都有 $| a | > 0$

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11. 图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）

A、图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B、图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C、图②游乐场实行措施是降低门票的售价 D、图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用

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12. 对于函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在定义域内是奇函数 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 2)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[4 ， + \infty)$ D、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$

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三、填空题（5分*4=20分）

13. 计算： $l g 25 + 2 l g 2 + 8^{\frac{2}{3}} =$ ．

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14. 实数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $y = a^{x - 1} + 3$ 的图象恒过定点．

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足 $- 1 \leq x < 2$ ， $0 < y \leq 1$ ，则 $x - 3 y$ 的取值集合是.（用区间表示）

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16. 已知命题“ $∃ x \in R ， x^{2} - 2 a x + 3 a ⩽ 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是．

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四、解答题（70分）

17. 化简或计算下列各式．

(1)、 $\frac{{(a^{\frac{2}{3}} b^{- 1})}^{- \frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{a b^{5}}}$ ；

(2)、 ${(0.027)}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{27}{125})}^{- \frac{1}{3}} - {(2 \frac{7}{9})}^{0.5}$ ．

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18.

(1)、解不等式 $- 4 x^{2} + 4 x - 1 < 0$ ；

(2)、用作差法比较大小 $(2 a + 1) (a - 3)$ 与 $(a - 6) (2 a + 7) + 45$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ 的图象过点 $(1 ， 3)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、判断函数的奇偶性并证明．

(3)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(2 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论．

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20. 已知幂函数 $f (x) = x^{m}$ 的图象过点 $(25 ， 5)$ .

(1)、求 $f (4)$ 的值；

(2)、若 $f (a + 1) > f (3 - 2 a)$ ，求实数a的取值范围.

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21. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，且 $f (0) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1 ， \frac{1}{2}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象恒在函数 $y = 2 x + m$ 的图象下方，试确定实数 $m$ 的取值范围.

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22. 某水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 2 (x^{2} + 17) ， 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x + 10$ 元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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