湖北省咸宁市、黄冈市联考2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-16 类型：期中考试

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一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）

1. 下列四个图片表述的是宪法赋予我们的基本权利，其图标为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 1 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 $(x - 4)^{2} = 3$ B、 $(x - 4)^{2} = 15$ C、 $(x - 4)^{2} = 17$ D、 $(x + 4)^{2} = 17$

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3. 已知抛物线 $y_{1} = x^{2} - 2$ 经过平移后得到抛物线 $y_{2} = x^{2} - 4$ ，若抛物线 $y_{1}$ 上任意一点M坐标是 $(m ， n)$ ，则其对应点 $M^{'}$ 坐标一定是（）

A、 $(m ， n - 2)$ B、 $(m - 2 ， n)$ C、 $(m + 2 ， n)$ D、 $(m ， n + 2)$

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4. $▱ O A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图， $∠ A O C = 45 °$ ， $O A = 1$ ， $O C = 2$ ，把 $▱ O A B C$ 绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2} + 1 ， \sqrt{2})$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2} + 1)$

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5. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的对称轴是 $x = - 1$ ，直线 $l ∥ x$ 轴，且交抛物线于点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $b^{2} > - 8 a$ B、若实数 $m \neq - 1$ ，则 $a - b < a m^{2} + b m$ C、 $3 a - 2 > 0$ D、当 $y > - 2$ 时， $x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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二、细心填一填（本大题共8小题，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）

6. 如图，菱形ABCD的对角线交于原点O ，点B的坐标为 $(10 ， m)$ ，点D的坐标为 $(n ， 6)$ ，则 $m n =$ ．

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7. 《代数学》中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求正数解的几何方法是：如图1，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为： $x^{2} + 8 x + 4 \times 2^{2} =$ $33 + 16 = 49$ ，依图1可列方程为： $(x + 2 \times 2)^{2} = 49$ ，解得正数解 $x = 3$ ．构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则正数 $x =$ ．

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8. 如图，矩形纸片ABCD ， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，将纸片ABCD折叠，使C与A重合，则折痕EF的长度为．

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9. 如图，在平面直角坐标中，对抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2 x$ x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A点的坐标是．

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10. 如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点（不与点B ， C重合），连接AE ，以AE为边向右作正方形AEFG ，连接CF ．已知 $△ C E F$ 的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示，若该抛物线顶点P的纵坐标为8，则正方形ABCD的边长为．

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三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， AD是 $∠ B A C$ 的平分线，E为AD上一点，以BE为一边，且在BE下方作等边 $△ B E F$ ，连接CF ．

(1)、求证， $△ A B E ≌ △ C B F$ ；

(2)、求 $∠ A C F$ 的度数．

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12. 交通工程学理论用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆平均速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段速度v（千米/小时）与密度k（辆/千米）之间关系如图所示：

(1)、直接写出该路段速度v（千米/小时）与密度k（辆千米）之间的函数解析式；

(2)、已知q ， v ， k满足 $q = v k$ ．当该路段的车辆密度k（辆）/千米）为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

(3)、当 $q \geq 1350$ 时，该路段是较佳流量．直接写出车流密度k在什么范围时，该路段是较佳流量．

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13. 数学活动课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

(1)、【操作探究】如图1， $△ A B C$ 为等边三角形，将 $△ A B C$ 绕点A旋转 $180 °$ ，得到 $△ A D E$ ，连接BE ， F是BE的中点，则 $∠ E B C =$ ；连接AF ，则AF与DE的数量关系是．

(2)、【迁移探究】如图2，将（1）中的 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $30 °$ ，得到 $△ A D E$ ，其他条件不变，求出此时 $∠ E B C$ 的度数及AF与DE的数量关系．

(3)、【拓展应用】如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A旋转，得到 $△ A D E$ ，连接BE ， F是BE的中点，连接AF ．在旋转过程中，当 $∠ E B C = 15 °$ 时，线段AF的长为：．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 两点，其顶点为D ，连接AD ，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．

(1)、求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)、如图，过点P作 $P E ⊥ y$ 轴于点E ，连接AE ，求 $△ P A E$ 面积S的最大值；

(3)、抛物线上是否存在一点Q ，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

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