湖北省孝感市孝南区2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-16 类型：期中考试

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一、精心选择，一锤定音！（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的过程中，其中配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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3. 已知点 $A (m ， 2)$ 与点 $B (- 1 ， n)$ 关于原点对称，则 $m - n$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、3 D、4

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4. 将抛物线 $y = 2 x^{2} - 5$ 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ B、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 7$ C、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} + 7$

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5. 秋冬季节是流感高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 个人，则可列方程为（）

A、 $1 + x = 121$ B、 $1 + x^{2} = 121$ C、 $1 + x + x^{2} = 121$ D、 $1 + x + x (1 + x) = 121$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a < 0$ ）的图象如图，当 $- 5 \leq x \leq 0$ 时，下列说法正确的是（）

A、有最小值 $- 5$ 、最大值0 B、有最小值 $- 3$ 、最大值6 C、有最小值0、最大值6 D、有最小值2、最大值6

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7. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 $S$ （米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是 $S = - 0.25 t^{2} + 8 t$ ，无人机着陆后滑行（）秒才能停下来．

A、8 B、16 C、32 D、64

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8. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转45°后得到正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，边 $B_{1} C_{1}$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，则四边形 $A B_{1} O D$ 的周长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 c m$ ，动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $A$ 出发，在正方形的边上，分别按 $A \to D \to C$ ， $A \to B \to C$ 的方向，都以 $1 c m / s$ 的速度运动，到达点 $C$ 运动终止，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $x s$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，则下列图象中能大致表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如下表：
$x$
$- 1$
0
3
$y$
$n$
3
3
当 $n < 0$ 时，下列结论：① $a b c < 0$ ；②若点 $C (- 2 ， y_{1})$ ， $D (π ， y_{2})$ 在该抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $n < 4 a$ ；④对于任意实数，总有 $4 (a t^{2} + b t) \leq 9 a + 6 b$ ．其中正确的结论有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）

11. 一元二次方程 $(x - 2) (x + 3) = 2 x + 1$ 化为一般形式是．

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12. 抛物线 $y = 2 {(x + 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标为．

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13. 若 $a$ 、 $b$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2023 = 0$ 的两实数根，则 $a^{2} + 3 a + b =$ ．

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14. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转60°得到 $△ B A E$ ，连接 $E D$ ，若 $B C = 5$ ， $B D = 4$ ，则以下四个结论中：① $△ B D E$ 是等边三角形；② $A E / / B C$ ；③ $△ A D E$ 的周长是10；④ $∠ A D E = ∠ D B C$ ．其中正确结论的序号为．

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15. 若直线 $y = x + m$ 与二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，且线段 $A B = \sqrt{10}$ ，则 $m =$ ．

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16. 如图， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，以点 $D$ 为顶点作正方形 $D E F G$ ，且 $D E = B C$ ，连接 $A E$ ， $A G$ ．若将正方形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转一周，当 $A E$ 取最小值时， $A G$ 的长为．

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三、用心做一做，显显你的能力（本大题8小题，共72分）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

(2)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$

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18. 如图，已知 $A (1 ， - 1)$ ， $B (3 ， - 3)$ ， $C (4 ， - 1)$ 是直角坐标平面内三点．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、判断以 $B$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为顶点的三角形的形状为（无需说明理由）．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A旋转一定的角度得到 $R t △ A D E$ ，且点E恰好落在边BC上．

(1)、求证：AE平分 $∠ C E D$ ；

(2)、连接BD，求证： $∠ D B C = 90 °$ ．

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20. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．

(1)、为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？

(2)、如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 3) x + 2 k^{2} + 4 k + 2 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，原方程都有实根；

(2)、若该方程的两实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为一菱形的两条对角线的长，且 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 36$ ，求 $k$ 的值．

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22. 某干果店以每千克34元的价格购进一批干果，计划以每千克60元的价格销售．为尽快完成销售，决定降价促销，但售价不低于进价．经市场调查发现：这种干果的销售量 $y$ （千克）与每千克降价 $x$ （元）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、设销售总利润为 $W$ （元），
①求 $W$ 与 $x$ 的函数关系式；
②若 $W = 2400$ ，且最大限度让利给顾客，则这种干果应降价多少元？

(3)、若该店要求获利不低于2400元，请直接写出 $x$ 的取值范围．

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23. $△ A B C$ 是等腰直角三角形，当 $∠ D A C = 90 °$ ，点 $M$ 是射线 $A D$ 上的任意一点（不与点 $A$ 重合），连接 $C M$ ，如图1，将线段 $C M$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°得线段 $C N$ ，连接 $N B$ 并延长交直线 $A D$ 于 $E$ ．

(1)、猜想线段 $A M$ 与 $B N$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、如图2，若 $∠ D A C$ 为锐角时，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ D A C = 120 °$ ， $∠ A C M = 15 °$ ， $A C = 2$ ，则 $B N$ 的长及 $△ B C N$ 的面积．

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24. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ ，已知点 $B$ 坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上的一点，当 $△ P B C$ 的面积最大时，在抛物线对称轴上找一点 $Q$ ，使 $P Q + Q B$ 的和最小，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图2．点 $M$ 为该抛物线的顶点，直线 $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，在直线 $M D$ 上是否存在点 $N$ ，使点 $N$ 到直线 $M C$ 的距离等于点 $N$ 到点 $A$ 的距离？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	$- 1$	0	3
$y$	$n$	3	3