浙江省绍兴市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线 $l ： y = x + 1$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 圆 $C_{1} ： (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} ： (x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ 的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

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3. 过两点 $(1 ， 1)$ ， $(2 ， - 1)$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 3 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x + 2 y - 3 = 0$

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4. 平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ ，点 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ 在 $α$ 内，则点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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5. “ $a^{2} + b^{2} > 1$ ”是“直线 $a x + b y + 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知双曲线 $C$ 的焦点与椭圆 $E$ ： $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{7} = 1$ 的上、下顶点相同，且经过 $E$ 的焦点，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，P为双曲线右支上一点，且满足 ${| P F_{1} |}^{2} - {| P F_{2} |}^{2} = 4 \sqrt{15}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{5} + 4$ D、 $2 \sqrt{3} + 4$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $Δ A B F_{1}$ 为正三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l_{1} ： x + (a - 1) y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} ： a x + 2 y + 2 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- 1$ B、 $l_{2}$ 过定点 $(0 ， - 1)$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ 或 $a = 2$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{3}$

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10. 关于曲线C：x²+y²-2mx+2y+2m=0，下列说法正确的是（）

A、若曲线C表示圆，则m≠1 B、若m=1，曲线C表示两条直线 C、若m=2，过点(1，1)与曲线C相切的直线有两条 D、若m=3，则直线x+y=0被曲线C截得弦长等于 $2 \sqrt{2}$

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11. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列结论中正确的有（）

A、离心率e＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ C、 $Δ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $1$ D、直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 与以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆相切

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12. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， A D = 2 \sqrt{3}$ ，沿对角线 $A C$ 将矩形折成一个大小为 $θ$ 的二面角 $B - A C - D$ ，若 $c o s θ = \frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的有（）

A、四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、点 $B$ 与 $D$ 之间的距离为 $2 \sqrt{3}$ C、异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角为 $4 5^{o}$ D、直线 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在椭圆 $C$ 上，则 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ 的最大值为.

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14. 在平面直角坐标系内，点 $A (1 ， - 1)$ 关于直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 对称的点 $B$ 坐标为.

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15. 已知 $\vec{P A} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{P B} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{P C} = (2 ， 3 ， λ)$ ，若 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面，则 $λ =$ ．

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16. 若对于一个实常数 $t$ ，恰有三组实数对 $(a ， b)$ 满足关系式 $| a + b + 1 | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = t$ ，则 $t =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + 2 y - 4 = 0$ ，若直线 $l_{2}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{3}{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、已知不过原点的直线 $l_{3}$ 经过直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 的交点，且在 $y$ 轴上截距是在 $x$ 轴上的截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{3}$ 的方程.

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18. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角是锐角，求实数 $k$ 的范围．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P O |$ .

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若直线l过点 $Q (1 ， 2)$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程.

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20. 如下图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD，又 $P A = 2$ .

(1)、求点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离；

(2)、设 $A D = 2 A B = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求BC的长．

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21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）与 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $M (\sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ､ $B$ ，且线段 $A B$ 的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 20$ 上，求实数 $m$ 的值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点， $| A_{1} F_{1} | = 2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点（ $P ， Q$ 在 $x$ 轴的两侧），记直线 $A_{1} P ， A_{2} P$ ， $A_{2} Q ， A_{1} Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3} ， k_{4}$ ．
（i）求 $k_{1} k_{2}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ F_{2} P Q$ 面积的取值范围．

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