2023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，设 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（）

A、 $\tan B = \frac{b}{a}$ B、 $\tan B = \frac{c}{b}$ C、 $\sin B = \frac{a}{b}$ D、 $\sin B = \frac{b}{a}$

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3. 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（）

A、 $\frac{a}{c o s α}$ 米 B、 $\frac{a}{s i n α}$ 米 C、 $a c o s α$ 米 D、 $a s i n α$ 米

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4. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则 $\frac{D G}{C G}$ = （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{7}$

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点D，分别过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E， $D F ⊥ B C$ 于F，则四边形 $C E D F$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、 $\frac{24}{7}$ D、 $\frac{576}{49}$

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6. 如图所示，菱形 $A B C D$ 的周长为 $20 c m$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E， $s i n A = \frac{3}{5}$ ，则下列结论正确的个数有（）
① $D E = 3 c m$ ， ② $B E = 1 c m$ ， ③菱形的面积为 $15 c m^{2}$ ， ④ $B D = 2 \sqrt{10} c m$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在直线l上，以A为圆心， $O A$ 为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 $O E$ ， $⊙ A$ 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形 $A B C D$ 是矩形（点 $A ， B ， C ， D$ 顺时针排列），则称矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.若点 $A (3 ， 4)$ ，则直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的“理想矩形”的面积为（）

A、12 B、 $3 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 如图， $R t △ O A B$ 与 $R t △ O B C$ 位于平面直角坐标系中， $∠ A O B = ∠ B O C = 30 °$ ， $B A ⊥ O A$ ， $C B ⊥ O B$ ，若 $A B = \sqrt{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恰好经过点C，则 $k =$ ．

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10. 如图，将 $45 °$ 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 $37 °$ 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm
（结果精确到0.1cm，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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11. 如图．四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B C = D C$ ， $∠ C = 60 °$ ， $A E ∥ C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $B C = 8$ ， $A E = 6$ ，则AB的长为．

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12. 一副直角三角板如图放置，点 $C$ 在 $F D$ 的延长线上， $A B ∥ C F ， ∠ F = ∠ A C B = 90 ° ， ∠ E = 45 ° ， ∠ A = 60 °$ ，则 $∠ D B C =$ °．

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13. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，过点C作射线 $C D ⊥ B C$ ，点M，N分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿 $M N$ 折叠，使点B落在射线 $C D$ 上的点 $B ′$ 处，连接 $A B^{'}$ ，已知 $A B = 2$ ．给出下列四个结论：① $C N + N B^{'}$ 为定值；②当 $B N = 2 N C$ 时，四边形 $B M B^{'} N$ 为菱形；③当点N与C重合时， $∠ A B^{'} M = 18 °$ ；④当 $A B^{'}$ 最短时， $M N = \frac{7 \sqrt{21}}{20}$ ．其中正确的结论是（填写序号）

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 ° ， s i n A = \frac{5}{13}$ ．点 $D$ 为边 $A C$ 上一点， $∠ B D C = 45 ° ， A D = 7$ ，求 $C D$ 的长．

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15. 根据以下素材，探索完成任务．

探究遮阳伞下的影子长度

素材1

图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $180 °$ ，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架 $A E = D E = 0.5$ 米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．

素材2

时刻	12点	13点	14点	15点	16点	17点
太阳高度 $α$ （度）	90	75	60	45	30	15
参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ．

某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $α$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：

素材3

小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．

问题解决

任务1

确定影子长度

某一时刻测得 $B D = 1.7$ 米，请求出此时影子 $G H$ 的长度．

任务2

判断是否照射到

这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？

任务3

探究合理范围

小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算 $B Q$ 的取值范围．

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四、综合题

16. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A E$ ，在 $A E$ 的左侧作等边三角形 $A E D$ ，将线段 $E C$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $B F$ ．交 $D E$ 于点 $M$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 为 $B C$ 中点时，请直接写出线段 $D M$ 与 $E M$ 的数量关系；

(2)、如图2．当点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，请判断（ $1$ ）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、当 $B C = 6$ ， $C E = 2$ 时，请直接写出 $A M$ 的长．

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17. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ．等腰 $△ M E F$ 的两个顶点 $E ， F$ 分别在 $A B ， A D$ 上，且 $∠ E M F = 120 °$ ，点 $A ， M$ 在 $E F$ 的异侧．

(1)、如图2，当 $E F ⊥ A C$ 于点 $K$ 时，
①求证： $A E = A F$ ，且点 $M$ 在菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．

②如图3，若 $E H ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H ， F G ∥ A C$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $G H$ ．当 $\frac{A B}{E M} =$ 时，四边形 $E H G F$ 为正方形．

(2)、如图1，
①判断：点 $M$ ▲ 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．（填“在”或“不在”）

②若 $A B = 6 \sqrt{3} ， E M = 4$ ，请求出 $C M$ 的取值范围．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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