2023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ $\frac{4}{5}$ ，则tanA＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取 $P A$ 的垂线 $P B$ 上的一点C，测得 $P C = 50$ 米， $∠ P C A = 42 °$ ，则小河宽 $P A$ 等于（）

A、 $50 s i n 42 °$ 米 B、 $50 c o s 42 °$ 米 C、 $50 t a n 42 °$ 米 D、 $50 t a n 48 °$ 米

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3. 如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形 $A B C D$ 和螺旋杆 $P Q$ ，当 $B D = m$ ， $∠ C B D = α$ 时，A，C两点的距离为（）

A、 $\frac{m t a n α}{2}$ B、 $\frac{m s i n α}{2}$ C、 $m t a n α$ D、 $m s i n α$

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（）

A、tanB= $\frac{3}{4}$ B、sinB= $\frac{4}{3}$ C、sinB= $\frac{4}{5}$ D、cosB= $\frac{4}{5}$

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5. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， A B = 10$ ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ C A B$ 的内部相交于点P，画射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E．则下列结论错误的是（）

A、 $∠ C A D = ∠ B A D$ B、 $C D = D E$ C、 $A D = 5 \sqrt{3}$ D、 $C D ： B D = 3 ： 5$

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8. 如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使 $∠ A B C = 60 °$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

9. 如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为.

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{1}{3}$ ， $B C = 2$ ，则 $A C =$ ．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，将线段 $A O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $A B$ ，连接 $O B$ ，点 $B$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，则 $k$ 的值是．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，按下列步骤作图：①在 $A C$ 和 $A B$ 上分别截取 $A D$ 、 $A E$ ，使 $A D = A E$ ． ②分别以点D和点E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点M ． ③作射线 $A M$ 交 $B C$ 于点F ．若点P是线段 $A F$ 上的一个动点，连接 $C P$ ，则 $C P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值是．

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13. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $D ， E$ 在边 $B C$ 上，若 $∠ D A E = 30 °$ ， $t a n ∠ E A C = \frac{1}{3}$ ，则 $B D =$ ．

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三、解答题

14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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15. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为 $3 m$ ，当摆角 $∠ B O C$ 恰为 $26 °$ 时，座板离地面的高度 $B M$ 为 $0.9 m$ ，当摆动至最高位置时，摆角 $∠ A O C$ 为 $50 °$ ，求座板距地面的最大高度为多少 $m$ ？（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.9$ ， $t a n 26 ° \approx 0.49$ ， $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 1.2$ ）

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四、综合题

16. 如图，已知等边 $△ A B C$ ， $A D ⊥ B C$ ， $E$ 为 $A B$ 中点 $.$ 以 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $D E$ 于点 $M$ ，交 $D B$ 于点 $N$ ，分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $D P$ 交 $A B$ 于点 $G .$ 过点 $E$ 作 $E F / / B C$ 交射线 $D P$ 于点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $A F$ ．

(1)、求证：四边形 $B D E F$ 是菱形．

(2)、若 $A C = 4$ ，求 $△ A F D$ 的面积．

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $C D ∥ O E$ ，直线 $C E$ 是线段 $O D$ 的垂直平分线， $C E$ 分别交 $O D ， A D$ 于点F，G，连接 $D E$ ．

(1)、判断四边形 $O C D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、当 $C D = 4$ 时，求 $E G$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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