2023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B = 15 °$ ， $C D$ 是腰 $A B$ 上的高，则 $C D$ 的长（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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2. 下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $α$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 $α$ ，测倾仪高 $A D$ 为1.4米，则铁塔的高 $B C$ 为（）

A、 $(1.4 + 100 \tan α)$ 米 B、 $(1.4 + \frac{100}{\tan α})$ 米 C、 $(1.4 + \frac{100}{\sin α})$ 米 D、 $(1.4 + 100 \sin α)$ 米

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4. 已知，如图，点A是直线 $y = 2 x (x > 0)$ 上一点，过点A作x轴平行线，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于点B ，以 $A B$ 为边向下作 $△ A B C$ ，点C恰好在 $x$ 轴上，且 $∠ A C O = 30 °$ ， $∠ A B C =45 °$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} + 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $4 \sqrt{3} + 6$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + 8$

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5. 如图，已知矩形纸片ABCD，其中 $A B = 3 ， B C = 4$ ，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{5}$

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6. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = \sqrt{5}$ B、 $A C = 5$ C、 $B C = 2 \sqrt{5}$ D、 $∠ A C B = 30 °$

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7. 如图，在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3} + 2 ， A D = \sqrt{3}$ .把AD沿AE折叠，使点 $D$ 恰好落在AB边上的 $D^{^{'}}$ 处，再将 $△ A E D^{^{'}}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ A^{^{'}} E D^{^{'}^{'}}$ ，使得 $E A^{^{'}}$ 恰好经过 $B D^{^{'}}$ 的中点 $F$ .设 $A^{^{'}} D^{^{'}^{'}}$ 交AB于点 $G$ ，连接 $A A^{^{'}}$ .有如下结论：① $α = 7 5^{°}$ ；② $A^{^{'}} F$ 的长度是 $\sqrt{6} - 2$ ；③ $∠ A^{^{'}} A F = 7 . 5^{°}$ ；④ $△ A A^{^{'}} F ~ △ E G F$ .上述结论中，正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B C$ ， $B D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $B P$ ，过点C作 $B P$ 的垂线分别交 $B D ， A D$ 于点M，N，则 $C N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴上， $A B = 2$ ， $A (1 ， 0)$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点A旋转 $90 °$ 后，得到菱形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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10. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 s i n 60 ° - 202 3^{0} =$ ．

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ．以点 $B$ 为圆心，以 $B A$ 的长为半径作弧交边 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．分别以点 $A ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $F$ ，则 $\frac{O F}{O E}$ 的值为．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，斜边 $A B = 4$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点E、点D ，连接 $B D$ ，点M ， N分别是 $B D$ 和 $B C$ 上的动点，则 $C M + M N$ 的最小值是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点E在边 $A C$ 上， $A E = B C = 2$ ，将 $△ B C E$ 沿BE折叠至 $△ B C^{'} E$ ，当 $C^{'} E ∥ C D$ 时，则 $B E =$ ．

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三、解答题

14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC ，垂足是点D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD= $\frac{3}{4}$ ，求sinC的值．

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15. 先化简，再求代数式 $(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值，其中 $x = 3 t a n 30 ° + \sqrt{2} c o s 45 °$ ．

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四、综合题

16. 已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°，

(1)、当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE.
①求证：AF=DE：
②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=AC=3，求MN的长：

(2)、当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE= $\sqrt{19}$ ，求MN的长，

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17. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个 $30 °$ ， $45 °$ 的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片 $A B D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、如图1，将一个与 $△ A B D$ 全等的 $△ C D B$ 沿较长的直角边重合，拼成一个四边形 $A B C D$ ．
①求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；
②连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，求 $△ A O D$ 的面积；

(2)、在（1）的条件下，将一条直角边与 $A C$ 重合的等腰直角三角形卡片 $A C E (∠ A C E = 9 0^{∘})$ 与四边形 $A B C D$ 拼成如图2所示的平面图形，请求出点 $E$ 到 $A B$ 的距离；

(3)、一个斜边长度与 $A D$ 相等的 $30 °$ 三角板 $A D E$ （ $∠ E = 90 °$ ， $∠ A D E = 30 °$ ）如图3摆放，将 $△ A D E$ 绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ， $△ A D E$ 旋转后的三角形记为 $△ A D^{'} E^{'}$ ．在旋转过程中，直线 $D^{'} E^{'}$ 所在的直线与直线 $B D$ ， $A B$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，请直接写出 $E^{'} Q$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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