2023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. $s i n 45 ° + \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽 $A B$ （ $A B$ 与河岸垂直），测得 $A C$ 两点的距离为 $m$ 米， $∠ A C B = θ$ ，则河宽 $A B$ 的长为（）

A、 $m \cdot t a n θ$ B、 $m \cdot s i n θ$ C、 $m \cdot c o s θ$ D、 $\frac{m}{t a n θ}$

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3. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C ，此时飞机高度 $A C$ 为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为 $α$ ，则B、C之间的距离为（）

A、 $\frac{1400}{\tan α}$ 米 B、 $1400 \tan α$ 米 C、 $1400 \sin α$ 米 D、 $1400 \cos α$ 米

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4. 已知 $α$ 是锐角， $s i n α = c o s 30 °$ ，则 $α$ 的值为（）

A、30° B、60° C、45° D、无法确定

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5. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 $28 °$ ，高为7米．用计算器求 $A B$ 的长，下列按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 延时课上，王林用四根长度都为 $4 c m$ 的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的 $B C$ 边固定，平推成图2的图形，并测得 $∠ B = 60 °$ ，在此变化过程中结论错误的是（）

A、 $A B$ 长度不变，为 $4 c m$ B、 $A C$ 长度变小，减少 $4 (\sqrt{2} - 1) c m$ C、 $A B C D$ 面积变小，减少 $8 (\sqrt{3} - 1) c m^{2}$ D、 $B D$ 长度变大，增大 $4 (\sqrt{3} - \sqrt{2}) c m$

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7. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E ， △ A B F ， △ B C G ， △ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E$ ．设 $∠ B A F = α ， ∠ B E F = β$ ，若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1 ： n ， t a n α = t a n^{2} β$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 $O$ 在原点上，OA边在 $x$ 轴的正半轴上， $A B ⊥ x$ 轴， $A B = C B = 2 ， O A = O C ， ∠ A O C = 6 0^{°}$ ，将四边形OABC绕点 $O$ 送时针旋转，每次旋转 $9 0^{°}$ ，则第2023次旋转结束时，点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， \sqrt{3})$ B、 $(3 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(1 ， - \sqrt{3})$

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二、填空题

9. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ ，点 $G$ 在 $A D$ 上， $G F$ 与 $C D$ 交于点 $H$ ， $t a n ∠ A B G = \frac{1}{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ，则 $B H$ 的长为．

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10. 如图，反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图像经过菱形 $O A B C$ 的顶点 $C$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴上，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 $D$ .若 $∠ A = 60 °$ ，则点 $D$ 的坐标是.

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11. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ，点B在y轴正半轴上，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 到线段 $A C$ ，若点C的坐标为 $(7 ， h)$ ，则 $h =$ ．

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12. 已知一个菱形的边长是 $2 c m$ ，一个内角为 $60 °$ ，则这个菱形的面积是 $c m^{2}$ ．

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13. 如图，∠AOB=60^o ，点C在OB上，OC= $2 \sqrt{3}$ ， P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为．

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三、解答题

14. 如图，在长方形 $A B C D$ 中，已知 $E$ 为 $A D$ 上一点， $E F ⊥ C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．若 $D E = 2$ ，长方形的周长为 $16$ ，且 $C E = E F$ ，求 $A E$ 的长．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O ， E$ 为 $A D$ 的中点， $A C = 4$ ， $O E = 2$ .求 $O D$ 的长及 $t a n ∠ E D O$ 的值.

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四、计算题

16. 计算： $2 c o s 30 ° - t a n 60 ° + t a n 45 ° - \frac{1}{2} s i n 60 °$ ．

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五、综合题

17. 如图，已知 $E$ ， $F$ 是 $▱ A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $A E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $C H ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $H$ ， $\frac{C H}{B H} = 3 ， B C = \sqrt{10} ， t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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18. 如图，我国某海域上有 $A$ 、 $B$ 两个小岛， $B$ 在 $A$ 的正东方向．有一艘渔船在点 $C$ 处捕鱼，在 $A$ 岛测得渔船在东北方向上，在 $B$ 岛测得渔船在北偏西 $60 °$ 的方向上，且测得 $B$ 、 $C$ 两处的距离为 $20 \sqrt{2}$ 海里．

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两处的距离；

(2)、突然，渔船发生故障，而滞留 $C$ 处等待救援．此时，在 $D$ 处巡逻的救援船立即以每小时 $40$ 海里的速度沿 $D C$ 方向前往 $C$ 处，测得 $D$ 在小岛 $A$ 的北偏西 $15 °$ 方向上距 $A$ 岛 $30$ 海里处．求救援船到达 $C$ 处所用的时间（结果保留根号）．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切 同步分层训练基础卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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