2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $\frac{C D}{A D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n ∠ D B C$ 的值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ，则 $∠ B$ 的正弦值为(　　)

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{10}{3}$

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5. 如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上， $O A^{2} = O B • O C$ 则下列结论正确的是（）

A、 $s i n ∠ 1 = c o s ∠ 2$ B、 $t a n ∠ O A B = t a n ∠ 1$ C、 $c o s ∠ 1 = c o s ∠ C A B$ D、 $s i n ∠ O A B = c o s ∠ 1$

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6. 如图，点A为 $∠ α$ 边上的任意一点，作 $A C ⊥ B C$ 于点C， $C D ⊥ A B$ 于点D，下列用线段比表示出 $s i n α$ 的值，正确的是（）

A、 $\frac{B D}{B C}$ B、 $\frac{A D}{A C}$ C、 $\frac{A D}{D C}$ D、 $\frac{C D}{A C}$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6 ， A B = 4$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 于G， $F H ⊥ B C$ ，垂足为H，连接 $B F$ 、 $D G$ .以下结论：① $B F ∥ E D$ ； ② $B H = 3 F H$ ； ③ $t a n ∠ G E B = \frac{3}{4}$ ；④ $S_{△ B F G} = 0.3$ ，其中正确的个数是（　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（）
①△BDE∽△DPE；② $\frac{F P}{P H} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；③ $D P^{2} = P H \cdot P B$ ；④tan∠DBE= $2 - \sqrt{3}$ .

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

9. 如图，已知 $∠ M O N = 120 °$ ，点P、A分别为射线 $O M$ 、射线 $O N$ 上的动点，将射线 $P A$ 绕点P逆时针旋转 $30 °$ 交射线 $O N$ 于点B，则 $\frac{O A}{A B}$ 的最大值为.

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10. 将一组完全一样的宽 $1 c m$ ，高 $5 c m$ 的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角 $α$ 的正切值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $D F$ 的长为cm.

(2)、若③号骨牌与地面的夹角 $β$ 的正切值为 $\frac{1}{3}$ ，则 $B D$ 的长为cm.

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11. 将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角 $α (0 ° < α < 60 °)$ ， $D E^{'}$ 交AC于点M， $D F^{'}$ 交BC于点N，则 $\frac{S_{△ P D M}}{S_{△ C D N}}$ 的值为.

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是射线 $A B$ 上一动点，连结 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，当 $D E$ 把 $△ A B C$ 分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $A E$ 的长为.

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13. 如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ $\sqrt{2}$ .连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则 $\frac{1}{2}$ DQ+CQ的最小值为 .

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三、解答题

14. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA = $\frac{4}{5}$ ， CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $∠ B = 30 °$ ， $\tan C = \frac{24}{7}$ ，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点D、E．求线段 $C E$ 的长．

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四、作图题

16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (6 ， 4)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ .

(1)、在y轴左侧，以O为位似中心，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的相似比为 $1 ： 2$ ；

(2)、根据（1）的作图， $t a n ∠ C_{1} A_{1} B_{1} =$ .

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五、综合题

17. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 是射线 $A B$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $D B$ 上的动点，满足 $A E = D F$ .

(1)、若点 $E$ 是 $A B$ 的中点，求 $B F$ 的长和 $t a n ∠ B F E$ 的值.

(2)、若 $△ B E F$ 是等腰三角形，求 $A E$ 的长.

(3)、若 $B F = 4$ ，点 $P$ 是射线 $A D$ 上的点，满足 $t a n ∠ B P E = \frac{1}{5}$ ，直接写出 $D P$ 的长.

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18. 综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.

(1)、数学思考：请解答上述问题.

(2)、问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值.

(3)、问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积.

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2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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