2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2. 如图，在正方形网格中，已知 $Δ A B C$ 的三个顶点均在格点上，则 $∠ A C B$ 的正切值为（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 $t a n 35 ° 1 2^{'}$ ，按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ $\frac{3}{5}$ ， AB＝10，则AC的长为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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5. 如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆 $C D$ 的高度为h，两根拉线 $A C$ 与 $B C$ 相互垂直， $∠ C A B = α$ ，则拉线 $B C$ 的长度为（）

A、 $\frac{h}{c o s α}$ B、 $\frac{h}{s i n α}$ C、 $\frac{h}{t a n α}$ D、 $h \cdot c o s α$

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6. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 位置如图放置，点 $A 、 C$ 分别在 $x 、 y$ 轴上，将 $O B$ 逆时针旋转到 $O B^{^{'}}$ ，使得 $B^{'}$ 点落在y轴的负半轴上，连接 $B B^{'}$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ .若 $A B = 3$ ， $t a n ∠ B O A = \frac{3}{4}$ ，则点D的纵坐标是（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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7. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示 $s i n A$ 的式子为（）

A、 $\frac{B D}{A B}$ B、 $\frac{C D}{O C}$ C、 $\frac{A E}{A D}$ D、 $\frac{B E}{O B}$

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8. 如图1，将正方形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A B$ 与 $C D$ 重合，折痕为 $E F$ ．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为 $G H$ ，点B的对应点为点M， $E M$ 交 $A B$ 于N，则 $A E ： A N =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $A B$ 边的中点，连接 $C D$ ，若 $B C = 3 ， C D = 2$ ，则 $c o s B$ 的值是.

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10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5， $\sin B = \frac{4}{5}$ ，则AC＝.

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11. 如图，在一张长方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 和 $C D$ 的中点，点 $H$ 是 $B C$ 上一点，将矩形的一角沿 $A H$ 所在的直线翻折，点 $B$ 恰好落在 $E F$ 上，若 $A B = 10$ ，则 $B H$ 的长是.

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ .D是边BC的中点，点E在AB边上，将 $△ B D E$ 沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若 $F D ⊥ A B$ 时，则 $\frac{A E}{B E} =$ .

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13. 图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂 $O A = O B = O C = O D = 6$ ，张开夹角 $∠ A O B = 60 ° ， O E = O F = 2$ ，晾衣臂支架 $E G = F H = 4$ .

(1)、当 $∠ A O D = 90 °$ 时， $∠ E G O$ 的度数为.

(2)、当OC从水平方向旋转到 $O M ⊥ O B$ 时， $△ O N H$ 的面积为.

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三、解答题

14. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计	方案1	方案2
裁剪方案示意图
说明	图中的正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 四个顶点都在原四边形的边上
测量数据	$A D = 9 d m$ ， $C D = 2 d m$ ， $A B = 14 d m$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ；
任务1：探寻边角	填空： $B C =$ ▲ $d m$ ， $s i n B =$ ▲ ；
任务2：比较面积	计算或推理：正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 边长之比；
任务3：应用实践	若在 $△ B E F$ 余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ $d m$ .

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15. 如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证：△ABM∽△EMA.
②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值.

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四、综合题

16. 在 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A ， B ， D$ 在同一直线上， $A C ⊥ A D ， B C ⊥ B E$ .

(1)、如图1，如果 $D E ⊥ A D$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D E B$ ；

(2)、如果 $A D = 20$ ， $A C = 4$ ， $B E = \frac{1}{2} B C$ .
$①$ 如图2，当 $B E = D E$ 时，求 $A B$ 的长；
$②$ 如图3， $G$ 点是 $C A$ 延长线上一点，且 $A G = 8$ ，连结 $B G$ ，如果 $∠ G = ∠ D$ ，求 $t a n D$ 的值.

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17. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $c o s ∠ A B D = \frac{3}{5}$ ，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿 $A B$ 运动到点B，然后以同样速度沿 $B C$ 运动到点C停止.设当点E的运动时间为x秒时， $D E$ 长为y.下面是小聪的探究过程，请补充完整.

(1)、根据三角函数值小聪想到连接 $A C$ 交 $B D$ 于点O（如图2），请同学们帮忙求 $B D$ 的长.

(2)、小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在 $A B$ 上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4.82
4.84
5.06
5.46
6
请同学们继续探究点E在 $B C$ 上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数 $(0 \leq x \leq 10)$ 的两条性质.

(3)、结合图象探究发现 $y = 5$ 时，x有四个不同的值.求y取何值时，x有且仅有两个不同的值.

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x	0	1	2	3	4	5
y	5	4.82	4.84	5.06	5.46	6

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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