2023-2024学年初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知AB $∥$ CD $∥$ EF，它们依次交直线l₁ ， l₂于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=12，那么CE等于（）

A、9 B、4 C、6 D、3

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B > B C$ ，延长 $D C$ 至点 $E$ ，使得 $C E = B C$ ，以 $D E$ 为直径的半圆 $O$ 交 $B C$ 延长线于点 $F$ .欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形 $A B C D$ 的面积等于 $C F$ 的平方（即 $S_{矩形 A B C D} = C F^{2}$ ）.现连接 $F O$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $O F = 2 O G$ ，则 $△ O C F$ 与矩形 $A B C D$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{9}$

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3. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、2

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4. 如图， $M N$ 是 $△ A B C$ 的中位线，点F在线段 $B C$ 上， $C F = 2 B F$ ，连接 $A F$ 交 $M N$ 于点E，下列说法错误的是（）

A、 $\frac{A E}{A F} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{M E}{M N} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{A M}{B M} = \frac{A E}{A F}$ D、 $\frac{M E}{B F} = \frac{A N}{A C}$

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5. 如图 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A F$ 与 $B E$ 相交于点G，且 $A G = 2 ， G D = 1 ， D F = 5$ ，则 $C E ： B C$ ＝（）

A、5：3 B、1：3 C、3：5 D、2：3

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6. 如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（）

A、 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ B、 $\frac{A C}{A B} = \frac{D F}{D E}$ C、 $\frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$ D、 $\frac{B E}{C F} = \frac{A B}{A C}$

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7. 如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若 $\frac{S_{△ D E O}}{S_{△ F C O}} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{A E}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，边长为5的大正方形 $A B C D$ 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，连结 $A F$ 并延长交 $C D$ 于点M.若 $A H = G H$ ，则 $C M$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题

9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A D$ 的长为．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 上的点，且 $B E = B F = C G = A H$ ，若菱形的面积等于24， $B D = 8$ ，则 $E F + G H =$ ．

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，过B作 $B G ⊥ A E$ 于G，延长 $B G$ 至点F使 $∠ C F B = 45 °$ ，延长 $F C 、 A E$ 交于点M，连接 $B M$ ，若C为 $F M$ 中点， $B M = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴上， $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上， $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$ ，连接 $C F$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $F$ 作 $F P ∥ x$ 轴交 $C D$ 于点 $P$ ，点 $P$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象上.若 $△ B C G$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为； $△ D E G$ 的面积与 $△ B O G$ 的面积差为 .

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13. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2 $\sqrt{5}$ ，则大正方形的边长为．

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $A B = 5 c m ， A D = 2 c m ， A C = 4 c m$ ，求 $E C$ 的长.

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15. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点E是边 $A D$ 的中点，联结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，交 $A C$ 于点G．求证： $E F \cdot G B = B F \cdot G E$ ．

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四、综合题

16. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1)、定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $O$ ．

求证： $▱ A B C D$ 是菱形．

(2)、知识应用：如图

2

，在

▱ A B C D

中，对角线

A C

和

B D

相交于点

O

，

A D = 5 ， A C = 8 ， B D = 6

．

①求证： $▱ A B C D$ 是菱形；

②延长 $B C$ 至点 $E$ ，连接 $O E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，若 $∠ E = \frac{1}{2} ∠ A C D$ ，求 $\frac{O F}{E F}$ 的值．

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17. 如图，在 $7 \times 5$ 的方格纸 $A B C D$ 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.

(1)、在图1中画一条格点线段 $G H$ ，使G，H分别落在边 $A D$ ， $B C$ 上，且 $G H$ 与 $E F$ 互相平分.

(2)、在图2上画一条格点线段 $M N$ ，使M，N分别落在边 $A B$ ， $C D$ 上，且要求 $M N$ 分 $E F$ 为 $1 ： 2$ 两部分.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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