2023-2024学年初中数学九年级上册 3.1 比例线段同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > B P$ ，则下列比例式能成立的是（）

A、 $\frac{A B}{A P} = \frac{B P}{A B}$ B、 $\frac{B P}{A P} = \frac{A B}{B P}$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{B P}{A P}$ D、 $\frac{A B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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2. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即 $\frac{B C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，在数轴（如题图2）上最接近 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的点是（）

A、 $P$ B、 $Q$ C、 $M$ D、 $N$

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3. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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4. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F ，则AF：EF等于（）

A、1：1 B、4：3 C、3：2 D、2：3

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5. 下列各组数中，成比例的是（）.

A、1， $- 2$ ， $- 3$ ， $- 6$ B、1，4，2， $- 8$ C、5，6，2，3 D、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{6}$ ， 1， $\sqrt{3}$

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6. 已知非负数 x，y，z 满足. $\frac{3 - x}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 5}{4}$ .，设 $W = 3 x - 2 y + z$ ，则 W 的最大值与最小值的和为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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7. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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8. 设 $x + y + z = 2020$ ，且 $\frac{x}{2019} = \frac{y}{2020} = \frac{z}{2021}$ ，则 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z =$ （）

A、673 B、 $\frac{2020}{3}$ C、 $\frac{2021}{3}$ D、674

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二、填空题

9. 已知P点为线段 $A B$ 的黄金分割点， $A P = 4 c m$ ，且 $A P > B P$ ，则 $A B =$ $c m$

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10. 一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是.

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11. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\frac{B C}{\sqrt{n} A C} = \frac{\sqrt{n} A C}{A B}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\frac{B C}{\sqrt{2} A C} = \frac{\sqrt{2} A C}{A B}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\frac{B C}{\sqrt{3} A C} = \frac{\sqrt{3} A C}{A B}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

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12. 如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， $\frac{A B}{A D} = \frac{C E}{D E}$ ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 $A E C^{'} B^{'}$ ，连接BB′，若AB＝2，则线段 $B B^{'}$ 的长度为.

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13. 若 $k = \frac{a + b}{c} = \frac{a + c}{b} = \frac{b + c}{a} (k \neq 0)$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

14. 已知 $\frac{2}{a} = \frac{3}{b} = \frac{4}{c}$ ，且 $2 a - b + c = 10$ ，求 $a + 2 b - 3 c$ 的值。

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15. 阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} (a ， b ， c$ 互不相等)，求 $x + y + z$ 的值.

解：设 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} = k$ ，则 $x = k (a - b)$ ， $y = k (b - c) ， z = k (c - a)$ ，

$∴ x + y + z = k (a - b + b - c + c - a) = k \cdot 0 = 0$ ， $∴ x + y + z = 0$ .

依照上述方法解答下列问题：

已知 $\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z}$ ，其中 $x + y + z \neq 0$ ，求 $\frac{x + y - z}{x + y + z}$ 的值.

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四、综合题

16. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{A B}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数.

(1)、理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

(2)、应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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