2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是（）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、 $m > 3$ C、 $m \leq 3$ D、 $m < 3$

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3. 已知： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两根，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = 1$ B、 $a = 3$ ， $b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = 1$

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4. 有两个关于x的一元二次方程：M：ax²+bx+c＝0，N：cx²+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{2}$ 一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．
其中错误的结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 欧几里得的《原本》记载，形如x²+bx=a²的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= $\frac{b}{2}$ ，再在斜边AB上截取AD= $\frac{b}{2}$ ．则该方程的一个正根是（）

A、AC的长 B、AD的长 C、BC的长 D、BD的长

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6. 二次函数y=x²+x+1与x轴的交点情况是（）

A、一个交点 B、两个交点 C、三个交点 D、没有交点

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7. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 有两实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2} ，$ 下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} = x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = - 6$ D、 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = - 2$

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8. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} + 3 = 0$ 的根，则m等于（）

A、 $- 3$ B、 $5$ C、 $5 或 - 3$ D、 $- 5 或 3$

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二、填空题

9. 关于x的一元二次方程x²+2x-a＝0的一个根是2，则另一个根是.

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10. 若关于x的方程 $x^{2} + m x - 12 = 0$ 的一个根是3，则此方程的另一个根是．

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11. 已知实数 $a \neq b \neq c$ ，且满足 $\frac{c}{a} = a + 3$ ， $\frac{c}{b} = b + 3$ ．请解决下列问题：

(1)、当 $c = - 1$ 时， $a + b$ 的值为；

(2)、当 $c > 0$ 时， $\frac{a^{2} + b^{2} - 9}{c}$ 的值为．

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12. 已知双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 与函数 $y = | x - a |$ 的图像有两个交点，则a的值是.

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13. 已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是． (填写序号)

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三、解答题

14. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－（2k＋3）x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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15. 在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 3$ ，求m的值.
波波同学的解答过程如框：
解：
由题意可知： ${\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 2 m - 1 \\ x_{1} \cdot x_{2} = m^{2} \end{array}$
∵ $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 3$ ，
∴ $m^{2} + (2 m - 1) + 1 = 3$ ，
解得： $m = - 3$ 或 $m = 1$
波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.

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四、综合题

16. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 p x - p = 0$ 的两根， $p$ 为实数．

(1)、求证： $2 p x_{1} + x_{2}^{2} + 3 p \geq 0$ ．

(2)、当 $| x_{1} - x_{2} | \leq | 2 p - 3 |$ 时，求 $p$ 的最大值．

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17. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)、当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系同步分层训练培优卷(湘教版)